Bestimmen Sie die Basiswechsel

Question

Text erkannt:

Sei \( A=\left(\begin{array}{cc}11 & -4 \\ 30 & -11\end{array}\right)={ }_{\mathcal{B}} F^{\mathcal{B}} \) die Koordinatendarstellung einer linearen Abbildung \( F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) bezüglich der Standardbasis \( \mathcal{B} \).
(a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und je einen zugehörigen Eigenvektor von \( A \).
(b) Bilden Sie eine entsprechende Basis \( \mathcal{C} \) aus Eigenvektoren und begründen Sie die Basis-Eigenschaft von \( \mathcal{C} \).
(c) Bestimmen Sie die Basiswechsel \( { }_{\mathcal{C}} i d^{\mathcal{B}} \) und \( { }_{\mathcal{B}} i d^{\mathcal{C}} \) sowie \( { }_{\mathrm{C}} F^{\mathcal{C}} \)

Aufgabe:

Problem/Ansatz: Aufgabe a und b habe ich erledigt. Nur verstehe ich nicht wie ich einen Basiswechsel vollziehen kann. Wäre sehn dankbar wenn mir einer zeigen könnte was da mit gemeint ist und wie man das macht

Comments

Was hast du denn für die Basis C heraus ?

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Für c habe ich

2/5	1/3
1	1

Also als Matrix

Answer 1

 \( { }_{\mathcal{C}} i d^{\mathcal{B}} \) ist ja wohl der Basiswechsel von B nach C.

Also musst du die alten Basisvektoren, als Linearkombination der

neuen darstellen. Ich nehme mal Basisvektoren ohne Brüche.

\( \left(\begin{array}{cc}1 \\ 0\end{array}\right)=x\left(\begin{array}{cc}2 \\ 5\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{cc}1 \\ 3\end{array}\right)\)

und komme auf x=3 und y=-5. Dann hast du die 1. Spalte der

Basiswechselmatrix   \( { }_{\mathcal{C}} i d^{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{cc}3 & ? \\ -5 & ?\end{array}\right)\)

Allerdings mit der Basis C= \( \left(\begin{array}{cc}2 \\ 5\end{array}\right) , \left(\begin{array}{cc}1 \\ 3\end{array}\right)\)

Wenn du den 2. kanonischen Basisvektor darstellst, bekommst du die 2. Spalte.

Comments

Vielen dank:) Wie mache ich das jetzt aber mit _cF^c ?