Für welche r ∈ ℝ ist M_r eine Mannigfaltigkeit und welche Dimension hat M_r für diese r?

Question

Sei B ∶= {(x,y) ∈ ℝ² ∶ x² + y² < 1} die Einheitskreisscheibe und die Funktion f(x, y) = 1−x² − y², (x,y) ∈ B, sei erklärt. Für welche r ∈ ℝ ist M_r ∶= {(x,y) ∈ B ∶ (x − \( \frac{1}{2} \))² + y² = r²} eine Mannigfaltigkeit und welche Dimension hat M_r für diese r?

Wie finde ich dieses r, hab leider gar keine Ahnung :(

Falls das als zu viel verlangt empfunden wird, wäre ich ebenfalls dankbar für einen Link zu einer PDF, die mir die Berechnung erläutern könnte. Leider konnte ich bisher nichts dazu finden.

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Kann mir jemand helfen?

Answer 1

Ohne vertiefte Kenntnisse kann man doch soviel sagen:
Man kann nicht \(r\) "einfach so" ausrechnen. Wenn Du gezeigt hättest, dass (und für welche \(r\)) \(M_r\) eine Mannigfaltigkeit ist, würdest Du auch deren Dimension kennen. Die fällt nämlich beim Nachweis gleich mit an.

Erstmal Skizze. Dann siehst Du, dass für kleine \(r\) gilt: \(M_r\subset B\), d.h. \(M_r\) ist eine Sphäre. Dann sollte es möglich sein zwei Karten zu finden, analog zu https://de.wikipedia.org/wiki/Mannigfaltigkeit#Sph%C3%A4re

Woran man sieht, dass in diesen Fällen die Dimension 1 ist.

Zu den anderen Fällen kann ich so aus dem Ärmel nichts sagen.

Also, beschäftige Dich erstmal mit Karten bzw. den Homöomorphismen.

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Mach ich, danke dir!

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Ich sehe übrigens jetzt erst, dass Du die Frage schon vor 4 Wochen gestellt hast und damals eine Musterlösung hattest. Ich schließe mich dem damaligen Kommentar von lul an.

Bitte keine Doppelposts (wir wollen helfen, aber nicht doppelt).