Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

Question

Aufgabe:

… Geben Sie den Wert für a an, für den das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt

4x+2y-3z=8

2x-3z=2

6x+2y+a*z=10

Problem/Ansatz:

Ich habe es schon mit dem Gaußverfahren probiert, weiß aber auch nicht, ob das der richtige Ansatz ist, da ich keine Lösungsmenge rauskomme. Kann mir wer helfen? Danke

Answer 1

Aloha :)

Das Gauß-Verfahren ist ein möglicher Ansatz. Ziel beim Gauß-Verfahren ist es, so viele Spalten wie möglich zu erhalten, die aus lauter Nullen und genau einer Eins bestehen.$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline4 & 2 & -3 & 8 & -2\cdot\text{Zeile 2}\\2 & 0 & -3 & 2 & \\6 & 2 & a & 10 & -3\cdot\text{Zeile 2}\\\hline0 & 2 & 3 & 4 & \div2\\2 & 0 & -3 & 2 & \div2\\0 & 2 & a+9 & 4 & -\text{Zeile 1}\\\hline0 & \pink1 & 3/2 & 2 &\Rightarrow \pink y+\frac32z=2\\[1ex]\pink1 & 0 & -3/2 & 1 &\Rightarrow\pink x-\frac32z=1\\[1ex]0 & 0 & a+6 & 0 & \Rightarrow (a+6)\cdot z=0\\\hline\end{array}$$

1. Fall: $a\ne-6$

Die letzte Gleichung ist nur für $z=0$ erfüllt. Dann ist $\pink x=1$ und $\pink y=2$.

Die Lösung des Gleichungssystems ist dann ein Punkt: $(x;y;z)=(1|2|0)$.

2. Fall: $a=-6$

Die letze Gleichung ist nun für alle $z\in\mathbb R$ erfüllt. Bleiben als Bedingung für die Lösung nur noch die ersten beiden Gleichungen übrig. Wir stellen sie nach der pinken Variablen um:$$\pink y=2-\frac32z\quad;\quad \pink x=1+\frac32z$$und geben damit alle möglichen Lösungen an:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\frac32z\\[1ex]2-\frac32z\\[1ex]z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}\frac32\\[1ex]-\frac32\\[1ex]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+\frac z2\begin{pmatrix}3\\-3\\2\end{pmatrix}$$

Da wir für $z\in\mathbb R$ jede beliebige reelle Zahl einsetzen dürfen, kann auch $\frac z2$ jeden beliebigen reellen Wert annehmen, sodass wir die Lösungen mit einem neuen reellen Parameter $s\coloneqq\frac z2$ schöner als eine Gerade schreiben können:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}3\\-3\\2\end{pmatrix}\quad;\quad s\in\mathbb R$$

Answer 2

Kann man machen. Dann hast du dich verrechnet.

Man kann es hier aber auch durch "Hinsehen" lösen. Rechne mal Gleichung 1 + Gleichung 2 und vergleiche das Ergebnis mit Gleichung 3.

Wenn in einem LGS zwei Gleichungen identisch sind, kann es unendlich viele Lösungen geben.

Comments

Gibt es dafür einen Grund, warum die Lösung dann unendlich ist?

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Betrachte die Gleichung $x+y=0$. Warum hat dieses System unendlich viele Lösungen?

Answer 3

Ohne Gauß: Die ersten beiden Gleichungen beschreiben Ebenen, die sich schneiden. Daraus ergibt sich eine Schnittgerade.

Die Ebene der Gleichung 3 ist so zu wählen, dass die komplette Schnittgerade in ihr liegt.