Überprüfen Sie ob die folgenden Elemente von V Linear unabhängig sind?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei \( V=\left\{a_{1} x^{2}+a_{2} x+a_{3} \mid a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R}\right\} \) der Vektorraum aller Polynome vom Grad \( \leq 2 \). Überprüfen Sie, ob die folgenden Elemente von \( V \) linear unabhängig sind:
\( p_{1}(x)=x^{2}+5 x-5 \quad, \quad p_{2}(x)=-4 x^{2}+15 x-15 \quad . \quad p_{3}(x)=-2 x^{2}-5 x+5 \)

Answer 1

Die sind lin. unabh. genau dann, wenn die Gleichung

\( a \cdot (x^{2}+5 x-5 )+b \cdot (-4 x^{2}+15 x-15)+c \cdot (-2 x^{2}-5 x+5 )=0  \)

(Dabei ist 0 das 0-Polynom. ) nur die Lösung a=b=c=0 hat.

Umformen gibt  (a-4b-2c)x^2 +(5a+15b-5c)x+(-5a-15b+5c)=0

Und weil beim 0-Polynom alle Koeffizienten 0 sind also

a-4b-2c=0 und 5a+15b-5c=0   und -5a-15b+5c=0.

Das lin. Gl.system musst du lösen und siehst: Es gibt andere

Lösungen, also sind sie nicht lin. unabh. In der Tat ist z.B.

10p1 -1p2+7p3 = 0

Comments

was soll ich nach dem Gleichung a.p1+b.p2+c.p3=0 die Sie geschrieben haben machen, also was kommt danach der Nächte schritt wie soll ich das beweisen oder überprüfen? oder soll was anderes tun??

liebe grüße