Finden Sie ein Beispiel für eine Regelfunktion f ∈ R([a, b]) und eine Folge von Treppenfunktionen (f_{n})_{n ∈ ℕ}, …

Question

Hallo!

Leider komme ich bei dieser Aufgabe gar nicht weiter. Dadurch, dass wir zu dem Thema noch keine Übung hatten, weiß ich leider gar nicht, wie ich da vorgehen soll.

Ich würde mich über jede Hilfe freuen!

Danke schon mal :)

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Seien \( a, b \in \mathbb{R} \) mit \( a<b \). Finden Sie ein Beispiel für eine Regelfunktion \( f \in R([a, b]) \) und eine Folge von Treppenfunktionen \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}, f_{n} \in T([a, b]) \) für jedes \( n \in \mathbb{N} \), welche punktweise gegen \( f \) konvergiert, für die jedoch gilt, dass
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{a}^{b} f_{n}(x) d x \neq \int \limits_{a}^{b} f(x) d x . \)

Hinweis: Um volle Punkte zu erreichen, müssen Sie für Ihr Beispiel die geforderten Eigenschaften zeigen.

Answer 1

Ein klassisches Beispiel ist das folgenden:

\(f_n:[0,1]\rightarrow \mathbb R\)

mit

$$f_n(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & x=0 \text{ oder } x \in \left[\frac 1n , 1\right]\\ n & x\in \left(0,\frac 1n\right) \end{array}  \right.$$