Aloha :)
Berechne allgemein die Fläche unter der Kurve \(f_a(x)=e^{-(ax)^2}\), also:$$I(a)=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-(ax)^2}dx$$Dazu berechnen wir das Quadrat:$$I^2(a)=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-(ax)^2}dx\cdot\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-(ay)^2}dy=\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-a^2x^2-a^2y^2}dx\,dy=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-a^2(x^2+y^2)}dx\,dy$$Der Übergang zu Polarkoordinaten$$(x;y)\to(r,\varphi)\quad;\quad dx\,dy=r\,dr\,d\varphi\quad;\quad r\in[0;\infty)\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$macht dieses Integral leicht berechenbar:$$I^2(a)=\int\limits_{r=0}^\infty\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}e^{-a^2r^2}\,r\,dr\,d\varphi=2\pi\left[-\frac{1}{2a^2}e^{-a^2r^2}\right]_{r=0}^\infty=2\pi\cdot\frac{1}{2a^2}=\frac{\pi}{a^2}$$Damit haben wir das Integral gefunden:$$I(a)=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-(ax)^2}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{|a|}$$
Es ist also \(I(\frac12)=2\sqrt{\pi}\) und \(I(1)=\sqrt{\pi}\).
Die Antwort auf deine Frage ist daher: "Ja" ;)
