Aufgabe:Bestimmen Sie die Ortskurve der Hochpunkte.
HP ( e-t+1 | et-1)
Problem/Ansatz:
Die Lösung ist anscheinend y = 1/x.
Eigentlich stellt man ja den X Wert nach dem Parameter um und setzt diesen dann in Y ein. Wie mache ich das wenn es heißt e hoch der Parameter??
Dazu findest du viele Aufgaben im Forum.
Zum Problem:
https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/ortskurve-extrempunke-wen…
Zur Lösung gehört auch noch die Angabe des Bereichs für x. Nur die Angabe y=1/x ist daher nicht ausreichend.
x=e−t+1∣lnlnx=−t+1∣+t−lnxt=1−lnxy=et−1=e1−lnx−1=e−lnx=1elnx=1x\begin{aligned} x & =\mathrm{e}^{-t+1} & & |\ln\\ \ln x & =-t+1 & & |+t-\ln x\\ t & =1-\ln x\\ \\ y & =\mathrm{e}^{t-1}\\ & =\mathrm{e}^{1-\ln x-1}\\ & =\mathrm{e}^{-\ln x}\\ & =\frac{1}{\mathrm{e}^{\ln x}}\\ & =\frac{1}{x} \end{aligned}xlnxty=e−t+1=−t+1=1−lnx=et−1=e1−lnx−1=e−lnx=elnx1=x1∣ln∣+t−lnx
Das geht auch ohne Logarithmus, wenn man sieht, dass y=et−1=1e−t+1=1x y=\mathrm{e}^{t-1}=\frac{1}{\mathrm{e}^{-t+1}} =\frac{1}{x} y=et−1=e−t+11=x1.
Man kann sich oft viel Rechnerei ersparen, wenn man die xx x-Koordinate nicht unbedingt nach dem Parameter auflöst.
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