Existenz von Basisfolgen zeigen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

4.2. Seien \( V, W \) endlich-dimensionale \( \mathbb{K} \)-Vektorräume mit \( \operatorname{dim}(V)=n, \operatorname{dim}(W)=m \) und \( \varphi: V \rightarrow W \) linear mit Rang \( (\varphi)=r \leq \min (n, m) \). Zeigen Sie, es existieren Basisfolgen \( B \in V^{m}, B^{\prime} \in W^{m} \) mit
\( B^{\prime}[\varphi]_{B}=\left(\begin{array}{cc} E_{r} & 0_{r \times(n-r)} \\ 0_{(m-r) \times r} & 0_{(m-r) \times(n-r)} \end{array}\right) \in \mathbb{K}^{m \times n} . \)

Hierbei ist \( E, \in \mathrm{K}^{r \times r} \) die \( r \times r \)-Einheitsmatrix und \( 0_{k \times t} \in \mathrm{K}^{k \times 1} \) ist die \( k \times l \)-Nullmatrix. Die Matrix r \( ^{r}\left[\left.\varphi\right|_{B}\right. \) ist also als eine Blockmatrix definiert.
(4 Punkte)

Problem/Ansatz:

leider weiß ich nicht wie ich vorgehen soll

Answer 1

Wähle r linear unabhängige Vektoren w₁,...,w_r ∈ Im(φ) und Urbilder v₁,...,wr ∈ V, diese sind linear unabhängig. Ergänze beide Mengen zu Basen von V bzw. W.

Comments

HG: Wiecstellst Du sicher, dass die Ergänzung der v_i im Kern liegt?

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Berechtigte Frage.

Was passiert, wenn wir eine Basis v_r+1,...,v_n ∈ Ker(φ) wählen? Wir probieren es:

Zu zeigen ist die lineare Unabhängigkeit aller v_i. Sei also

a₁v₁+...+ a_nv_n = 0, die Anwendung von φ ergibt a₁ =...= a_r = 0 und dann bleiben für die restlichen a auch nur Nullen.

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Wenn Du v_1,..., v_r gewählt hast, kannst Du für die Ergänzung nicht einen beliebigen Unterraum zur Auswahl vorgeben.

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Ich habe ja v_1,...,v_r nicht ergänzt, sondern überprüft, ob denn v_1,...,v_n unabhängig sind, das ist der Fall, also bilden diese Vektoren eine Basis.

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Ja, jetzt verstehe ich das. Danke.