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wir haben erst in der letzten Vorlesung mit Basen angefangen und ich sehe da noch nicht ganz durch. Mir macht die Aufgabe da gerade Probleme.

 

Es sei n≥1 und φ ein Endomorphismus des ℝn mit

a

und geeignete αji∈ℝ, wenn (e1,...,en) die Standardbasis des ℝn bezeichnet. (Die Summe über die leere Indexmenge wird als der Nullvektor gedeutet.) Zeigen Sie

b

(φ°...°φ n-mal)

 

Wir haben Standardbasis noch nicht definiert und die Definitionen aus dem Internet helfen mir irgendwie auch nicht.

Kann mir jemand helfen?

Danke

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1 Antwort

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Ich rechne dir hier ein Beispiel für n=2 vor. (Vektorklammern kannst du bestimmt symmetrisch schliessen; da fehlt nichts!)

Wenn du nun statt 1234 a11 … einsetzt, ist die Verankerung für n=2. Also φ^2 = 0 gelungen.

Zum Induktionsschritt n --> n+1

Du kannst voraussetzen, dass nach n Schritten die ersten n Basisvektoren schon auf den Nullvektor abgebildet werden. Im n+1-ten Schritt wird dann auch der letzte Basisvektor zum Nullvektor.

Da ein Endomorphismus strukturerhaltend ist, werden auch alle andern Vektoren auf den Nullvektor abgebildet, da sie sich als Linearkombination der Basisvektoren schreiben lassen.

Ich hoffe, du kommst weiter.

 

Beispiel\quad n=2:\quad A=\begin{ pmatrix } 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{ pmatrix }\\ i=1:\quad \varphi \begin{ pmatrix } 1 & \quad  \\ 0 & \quad  \end{ pmatrix }\quad =\quad 3*\begin{ pmatrix } 0 & \quad  \\ 1 & \quad  \end{ pmatrix }=\begin{ pmatrix } 0 & \quad  \\ 3 & \quad  \end{ pmatrix }\\ i=2:\quad \varphi \begin{ pmatrix } 0 & \quad  \\ 1 & \quad  \end{ pmatrix }=\quad Summe\quad von\quad 3\quad bis\quad 2:\quad leere\quad Indexmenge.\\ Also\quad \varphi \begin{ pmatrix } 0 & \quad  \\ 1 & \quad  \end{ pmatrix }=\begin{ pmatrix } 0 & \quad  \\ 0 & \quad  \end{ pmatrix }\\ Nach\quad einem\quad Schritt\quad ist\quad der\quad resultierende\quad Raum\quad auf\quad die\quad y-Achse\quad reduziert.\\ Im\quad zweiten\quad Schritt\quad verschwindet\quad die\quad y-\quad Dimension.\\ qed\quad für\quad n=2

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