Fourierreihe für f(x) = x 2

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sei die Fourierreihe für $f(x) = x^2$ und zeigen Sie, dass $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^2}{6}$ es gilt

Ich bin ein bisschen überfordert wie ich das bederechnen soll.

Also ich weiß das wir die Funktion auf dem Intervall $[-\pi, \pi]$ betrachten müssen, da $f(x)$ eine periodische Funktion mit Periode $2\pi$ ist.

Und wir haben halt die Fourierreihe gegeben

Muss ich mit diesen werten

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx$

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$

arbeiten? Weil wenn ja , weiß ich trotzdem irgendwie nicht wie ich weiter rechnen soll

Comments

da $f(x)$ eine periodische Funktion mit Periode $2\pi$ ist.

Die Funktion f(x)=x² ist keine periodische Funktion.

Answer 1

In der Aufgabe selbst steht kein Intervall gegeben. Anscheinend weißt Du aber irgendwoher, dass $[-\pi,\pi]$ verwendet werden soll. Dann mach das. Du bestimmst dann die Fourierreihe von $f(x)$ für $x\in [-\pi,\pi]$, das außerhalb dieses Intervalls $2\pi$-periodisch fortgesetzt ist.

Und ja, Du musst mit den von Dir schon genannten $a_0,a_n,b_n$ arbeiten (Formeln stimmen). Also rechne die Integrale aus. Danach baue die FR damit zusammen. Dann sehen wir weiter.