Nullstellen bei Funktionenscharen

Question

Aufgabe:

Geg: fk(x)= x³-kx² und gk(x)= -x²+kx  Zeige, dass für jedes k>0 die Funktion fk(x) die gleiche Nullstellen hat wie gk(x)

Problem/Ansatz:

Meine Lehrerin hat uns Lösungen hochgestellt nur leider verstehe ich nicht ganz wie sie auf diese Lösungen kommt. Dass ich fk(x)=0 setzten muss habe ich verstanden nur leider komme ich nicht weiter bei der art und weise des Rechnens. Eventuell kann mir einer von euch helfen bzw. einen Denkansatz liefern. Danke schonmal im voraus

Answer 1

Du kannst in beiden Fällen ausklammern und dann den Satz vom Nullprodukt anwenden.

Ausklammern bedeutet, dass du so viele Potenzen von $x$, wie möglich, vor die Klammer schreibst und von den Summanden wegnimmst. Wenn du bspw. $x^4-4x^2$ hast, kannst du daraus $x^2(x^2-4)$ machen (bei beiden Summanden kannst du ein $x^2$ wegnehmen.

Der Satz vom Nullprodukt besagt, wenn ein Produkt zweier Zahlen $a\cdot b =0$ ist, dass dann entweder $a$ oder $b$ (oder beide Zahlen) 0 sein müssen. Das lässt sich auf unseren ausgeklammerten Ausdruck übertragen. Im Beispiel oben folgt aus $x^2\cdot (x^2-4)=0$, dass entweder $x^2=0$ ist oder $x^2-4=0$ ist. Aus dem ersten Teil folgt durch Wurzelziehen (kann man sich eigentlich sparen), dass $x=0$ ist. Aus dem zweiten Teil folgt $x^2=4$ bzw. $x=2$ oder $x=-2$ (durch Wurzelziehen).

Answer 2

gk(x) = - x² + k·x = x·(k - x)

Die Nullstellen sind offensichtlich 0 und k

fk(x) = x³ - k·x² = x²·(x - k)

Auch hier sind die Nullstellen offensichtlich 0 und k. Nur hier ist x = 0 eine doppelte Nullstelle.