Bestimmen Sie die Determinante von f

Question

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n∈ℕ und sei f∈End_K(V) ein K-Endomorphismus auf V. Nehmen wir an, dass es eine Basis B_V=(v₁,…,v_n) von V gibt, sodass f(v_i)=α_iv_i ,α_i∈K, i=1,…,n.

Bestimmen Sie det(f).

Answer 1

Beachte, dass die Determinante unabhängig von der Wahl der Basis ist.

Bzgl. der gegebenen Basis ist die Matrixdarstellung von \(f\) die Diagonalmatrix \(\operatorname{diag}(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\).

Was ist die Determinante einer Diagonalmatrix?

Comments

Die Determinante ist einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen, also $$det(A)= a_{11} \cdot... \cdot a_{nn} $$