autonome Differentialgleichungen Beweis mit (a − α, b − α) —> IR

Question

Aufgabe: Wir betrachten eine Differentialgleichung der Form y′(t) = f(y(t)),
für rechte Seiten f : X → R mit X ⊆ R. Zeigen Sie folgende Aussage: Ist y : (a, b) → X eine Lösung mit a, b ∈ R, so ist z : (a − α, b − α) → X, z(t) := y(t + α) für α ∈ R ebenfalls eine Lösung.

Problem/Ansatz: Meine Idee war zu zeigen, dass z‘(t) = f(z(t)) ist also z‘(t) = y‘ (t + α)  aber für weiter und warum schaue ich das Intervall (a − α, b − α) an?

Answer 1

Das Intervall brauchst du doch nur, damit $z$ wohldefiniert ist, da $y$ ja nur auf $(a,b)$ definiert ist, kann $z$ ja dann nur auf $(a-\alpha, b-\alpha)$ definiert sein aufgrund der Verschiebung.

Comments

Ah stimmt, macht sinn, danke.

Aber macht es Sinn zu zeigen, dass z‘(t) = f(z(t)). Also z‘(t) = y‘(t+α) aber wie weiter, wie kommt man dann auf f(z(t))

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Da $y$ die DGL löst, gilt $y'(t+\alpha)=f(y(t+\alpha))$. Was kannst du daraus schlussfolgern?

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daraus müsste folgen, dass f(y(t+α)) = f(z(t)), also gilt es als Lösung

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Genau. Also gilt $z'(t)=f(z(t))$.