Eigenmann Aufgabe #160 / Teil 1

Question

Aufgabe:

Eigenmann Aufgabe #160 / Teil 1

Problem/Ansatz:

wie vorgehen?

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wie vorgehen?

Wie gehst du denn vor?

Suchst du nach rechtwinkligen Dreiecken, bei denen man den Satz von Pythagoras anwenden könnte?

Suchst du nach ähnlichen Figuren, bei denen man Seitenverhältnisse aufstellen kann?

Nach gefühlten 50 Eigenmann-Aufgaben sollte man doch merken, dass die Lösungsansätze sich eigentlich alle auf zwei handvoll Grundkonzepte zurückführen lassen?

Im Optimalfall hast du einen Zettel mit diesen Grundkonzepten neben dir liegen, wenn du an eine neue Eigenmann-Aufgabe herangehst.

Answer 1

Wenn man das linke Teilstück der unteren Seitenlänge a nennt:

\( 25^2 + a^2 - ((24-a)^2+(25-x)^2) = 24^2 + x^2 \)

\( 25 / a = (25-x) / (24-a)  \)

\( \Longrightarrow x = 18 \)

Comments

Statt der ersten Pythagoras-Gleichung kannst die zweite auch mit ... = 24 / x fortsetzen.

Answer 2

Wenn man das linke Teilstück der unteren Seitenlänge a nennt:

dann gilt für die drei äußeren ähnlichen Dreiecke

(1)   a:25=(24-a):(25-x)

(2)    a:25=x:24   und somit a=25x:24.

Einsetzen von (2) in (1) ergibt

x/24 = (24- 25x/24)/(25-x)

Das hat die Lösungen x=18 und x=32.

Wegen x<25 entfällt die zweite Lösung (die aber entartet auch funktionieren würde).

Answer 3

(24^2 + x^2) + (24^2 + (50 - x)^2) = 50^2

2·x^2 - 100·x + 3652 = 2500 --> x = 18

(Die zweite Lösung ist die symmetrische Lösung x = 50 - 16 = 32)

Zugehörige Skizze: