Matrizen, Rang, Diagonalisierbarkeit und Eigenwerte

Question

Guten Abend,

ich habe folgende Angelegenheit:

Aufgabe: Gegeben ist eine 3x3-Matrix A, welches das charakteristische Polynom f_A(x) = -x^3 + x, hat.

a) Bestimme die Eigenwerte von A und zeige, das A diagonalisierbar ist

b) Zeige das A^2 := A mal A, diagonalisierbar ist und bestimme die Eigenwerte von A^2.

c) Bestimme rang(A^2), rang(A^2-E) und rang(A^2+E)

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Ansatz: Ich habe alles gemacht bis auf rang(A^2 + E) bestimmen. Zuerst einmal mein Ansatz und ich hoffe mal es ist richtig?

a):

Also die Eigenwerte sind ja die Nullstellen des Polynoms f_A. Indem Fall t_1 = -1, t_2 = 1 und t_3 = 0. Da alle Eigenwerte verschieden sind, ist A auch diagonalisierbar.

b):

Da A nach a) diagonalisierbar ist, ex. eine invertierbare Matrix T, s.d. A = TDT^-1, wobei D = diag(-1,1,0) ist. (Also die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von A als Diagonaleinträge). Dann folgt A^2 = (TDT^-1)^2 = TD^2 T^-1 und D^2 = T^-1 A^2 T  ist ebenfalls eine Diagonalmatrix, wodurch A^2 diagonalisierbar ist. D^2 = diag((-1)^2, 1^2, 0^2) = diag(1,1,0) und damit sind 0 und 1 diw Eigenwerte von A^2.

c)

Die algebraische Vielfachheit von dem Eigenwert 0 von A^2, ist = 1. Die algebraische Vielfachheit von dem Eigenwert 1 von A^2, ist  = 2 (Kommt zweimal vor). Da A^2 diagonalisierbar ist, ist auch die geometrische Vielfachheit von EW 0, = 1 und von EW 1, = 2.

D.h. 1 = dim(Kern(A-0*E)) = dim(Kern(A)) und 2 = dim(Kern(A-1*E)) = dim(Kern(A-E)). Nach Dimensionsformel folgt dann rang(A) = 2

und rang(A-E) = 1.

Frage: Wie bestimme ich aber jetzt rang(A+E)? (Hatte es ja schon oben angedeutet, das ich es nicht machen konnte).Die Zahl -1 ist ja in dem Fall kein Eigenwert von A^2 nach b)…

Ich bedanke mich im voraus.

Answer 1

Das ist alles soweit in Ordnung. Achte aber auf die logische Abfolge:

und D^2 = T^-1 A2 T ist ebenfalls eine Diagonalmatrix

ja, aber nicht wg \(D^2 = T^{-1} A^2 T\), sondern weil \(D^2=D\cdot D\) ist.

Zum Ende von c) hast Du immer A geschrieben, wo A^2 stehen sollte.

Mit derselben Überlegung, mit der Du zum rg(A^2) gelangst, kannst Du auch A^2+E und A^2-E erledigen: Es ist nämlich

\(A^2+E= TD^2T^{-1}+TT^{-1}= T(D^2+E)T^{-1}\),

also ist \(A^2+E\) diagonalisierbar und dann weiter mit den Vielfachheiten. Das geht mit +E und auch -E.

Comments

Verstehe, aber

A^2 + E ist diagonalisierbar und es gilt

D^2 + E = diag(0 + 1, 1 + 1, 1 + 1) = diag(1,2,2), wodurch 1 und 2 EW von A^2 + E sind. Da der EW 2 die alg. VF = 2 hat, ist auch die geom. VF = 2 (Wegen Diagonalisierbarkeit).

Dann folgt 2 = dim(Kern((A^2 + E) - 2*E)) = dim(Kern(A^2 - E)). Aber wie komme ich denn jetzt zu dim(Kern(A^2 + E))?

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Nicht über dim(kern...), sondern einfacher: da kein EW von \(A^2+E\) die 0 ist, ist \(A^2+E\) regulär und damit \(rg(A^2+E)=3\).

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Stimmt wegen det(A^2 + E) = det(D^2 + E) = 1*2*2 = 4 ≠ 0.

Danke Dir! :)