Matrizen, Rang, Diagonalisierbarkeit und Eigenwerte

Question

Guten Abend,

ich habe folgende Angelegenheit:

Aufgabe: Gegeben ist eine 3x3-Matrix A, welches das charakteristische Polynom f_A(x) = -x³ + x, hat.

a) Bestimme die Eigenwerte von A und zeige, das A diagonalisierbar ist

b) Zeige das A² := A mal A, diagonalisierbar ist und bestimme die Eigenwerte von A².

c) Bestimme rang(A²), rang(A²-E) und rang(A²+E)

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Ansatz: Ich habe alles gemacht bis auf rang(A² + E) bestimmen. Zuerst einmal mein Ansatz und ich hoffe mal es ist richtig?

a):

Also die Eigenwerte sind ja die Nullstellen des Polynoms f_A. Indem Fall t_1 = -1, t_2 = 1 und t_3 = 0. Da alle Eigenwerte verschieden sind, ist A auch diagonalisierbar.

b):

Da A nach a) diagonalisierbar ist, ex. eine invertierbare Matrix T, s.d. A = TDT^-1, wobei D = diag(-1,1,0) ist. (Also die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von A als Diagonaleinträge). Dann folgt A² = (TDT^-1)² = TD² T^-1 und D² = T^-1 A² T  ist ebenfalls eine Diagonalmatrix, wodurch A² diagonalisierbar ist. D² = diag((-1)², 1², 0²) = diag(1,1,0) und damit sind 0 und 1 diw Eigenwerte von A².

c)

Die algebraische Vielfachheit von dem Eigenwert 0 von A², ist = 1. Die algebraische Vielfachheit von dem Eigenwert 1 von A², ist  = 2 (Kommt zweimal vor). Da A² diagonalisierbar ist, ist auch die geometrische Vielfachheit von EW 0, = 1 und von EW 1, = 2.

D.h. 1 = dim(Kern(A-0*E)) = dim(Kern(A)) und 2 = dim(Kern(A-1*E)) = dim(Kern(A-E)). Nach Dimensionsformel folgt dann rang(A) = 2

und rang(A-E) = 1.

Frage: Wie bestimme ich aber jetzt rang(A+E)? (Hatte es ja schon oben angedeutet, das ich es nicht machen konnte).Die Zahl -1 ist ja in dem Fall kein Eigenwert von A² nach b)…

Ich bedanke mich im voraus.

Answer 1

Das ist alles soweit in Ordnung. Achte aber auf die logische Abfolge:

und D^2 = T^-1 A2 T ist ebenfalls eine Diagonalmatrix

ja, aber nicht wg $D^2 = T^{-1} A^2 T$, sondern weil $D^2=D\cdot D$ ist.

Zum Ende von c) hast Du immer A geschrieben, wo A² stehen sollte.

Mit derselben Überlegung, mit der Du zum rg(A²) gelangst, kannst Du auch A²+E und A²-E erledigen: Es ist nämlich

$A^2+E= TD^2T^{-1}+TT^{-1}= T(D^2+E)T^{-1}$,

also ist $A^2+E$ diagonalisierbar und dann weiter mit den Vielfachheiten. Das geht mit +E und auch -E.

Comments

Verstehe, aber

A² + E ist diagonalisierbar und es gilt

D² + E = diag(0 + 1, 1 + 1, 1 + 1) = diag(1,2,2), wodurch 1 und 2 EW von A² + E sind. Da der EW 2 die alg. VF = 2 hat, ist auch die geom. VF = 2 (Wegen Diagonalisierbarkeit).

Dann folgt 2 = dim(Kern((A² + E) - 2*E)) = dim(Kern(A² - E)). Aber wie komme ich denn jetzt zu dim(Kern(A² + E))?

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Nicht über dim(kern...), sondern einfacher: da kein EW von $A^2+E$ die 0 ist, ist $A^2+E$ regulär und damit $rg(A^2+E)=3$.

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Stimmt wegen det(A² + E) = det(D² + E) = 1*2*2 = 4 ≠ 0.

Danke Dir! :)