Extrema auf dreieckigem Definitionsbereich

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion g(x, y) in zwei reellen Variablen x, y auf einem dreieckigen Definitionsbereich D, welcher durch die drei Geraden x = 0, y = 0 und x + y = 8 begrenzt ist:

                                         g(x,y) = xy (6 - x - y)

Man bestimme auf D das absolute Maximum und das absolute Minimum von g, sowie Stellen wo diese angenommen werden.

Problem/Ansatz:

Könnte mir bitte jemand folgende Aufgabe lösen und Schritt für Schritt erklären? Danke schon im Voraus!

Comments

https://www.massmatics.de/merkzettel/#!207:Mehrdimensionale_Extremst…

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

1) Randbedingungen ignorieren

Wir bestimmen zunächst alle Extrema der Funktion$$f(x;y)=xy(6-x-y)=6xy-x^2y-xy^2$$ohne auf den dreieckigen Definitionsbereich zu achten. Kandidaten für Extrema finden wir an den Stellen, an denen der Gradient verschwindet:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{6y-2xy-y^2}{6x-x^2-2xy}\implies\left\{\begin{array}{cc}2xy=6y-y^2 & (1)\\[1ex]2xy=6x-x^2 & (2)\end{array}\right.$$

Wir setzen zuerst die beiden rechten Seiten gleich und erhalten als Bedingung:$$(1)=(2)\implies y(6-y)=x(6-x)\implies\left\{\begin{array}{lc}y=x & (A)\\y=6-x & (B)\end{array}\right.$$

Diese beiden Bedingungen setzen wir in eine der beiden Gleichungen ein:$$(A)\text{ in }(2)\implies2x^2=6x-x^2\implies3x^2-6x=0\implies3x(x-2)=0$$$$\phantom{(A)\text{ in }(2)}\implies x=0\;\lor\;x=2\implies K_1(0|0)\;;\;K_2(2|2)$$$$(B)\text{ in }(2)\implies2x(6-x)=6x-x^2\implies2x(6-x)=x(6-x)$$$$\phantom{(B)\text{ in }(2)}\implies x=0\;\lor\;x=6\implies K_3(0|6)\;;\;K_4(6|0)$$

Wir haben also 4 Kandidaten $K$ für Extrema gefunden. Wir prüfen diese Kandidaten, indem wir zunächst die Hesse-Matrix der Funktion $f$ bilden:$$H(x;y)=\left(\begin{array}{c}-2y & 6-2x-2y\\6-2x-2y & -2x\end{array}\right)$$und deren Definitheit für die 4 Kandidaten bestimmen:$$H(0;0)=\left(\begin{array}{c}0 & 6\\6 & 0\end{array}\right)\implies\text{Eigenwerte }\pm6\implies\text{kein Extremum}$$$$H(2;2)=\left(\begin{array}{c}-4 & -2\\-2 & -4\end{array}\right)\implies\text{Eigenwerte }-2\;;\;-6\implies\text{Maximum}\quad\checkmark$$$$H(0;6)=\left(\begin{array}{c}-12 & -6\\-6 & 0\end{array}\right)\implies\text{Eigenwerte }-6\pm6\sqrt2\implies\text{kein Extremum}$$$$H(6;0)=\left(\begin{array}{c}0 & -6\\-6 & -12\end{array}\right)\implies\text{Eigenwerte }-6\pm6\sqrt2\implies\text{kein Extremum}$$

Die Funktion $f(x;y)$ hat also bei $(2;2)$ ein Maximum: $\pink{f(2;2)=8}$

Der Punkt $(2;2)$ liegt insbesondere in dem begrenzendem Dreieck.

2) Randextrema suchen

Mit den Mitteln der Differentialrechnung finden wir Extrema nur über offenen Mengen. Es kann daher noch Extrema auf dem Rand des Definitionsbereiches geben. Dazu untersuchen wir die Extrema der Funktion $f$ unter den 3 konstanten Randbedingungen:$$g_1(x;y)=x=0\quad;\quad g_2(x;y)=y=0\quad;\quad g_3(x;y)=x+y=8$$

Nach Lagrange muss bei einem Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion kollinear zum Gradienten der Nebenbedingung sein. Wir rechnen die 3 Ränder durch.

1. Fall: $x=0$$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g_1(x;y)\implies\binom{6y-2xy-y^2}{6x-x^2-2xy}=\lambda\binom{1}{0}$$$$\implies6x-x^2-2xy=0\implies x(6-x-2y)=0\implies x=0\;\lor\; y=3-\frac x2$$$$\implies \blue{K_5(0|3)}$$

2. Fall: $y=0$$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g_2(x;y)\implies\binom{6y-2xy-y^2}{6x-x^2-2xy}=\lambda\binom{0}{1}$$$$\implies6y-2xy-y^2=0\implies y(6-2x-y)=0\implies y=0\;\lor\; x=3-\frac y2$$$$\implies \blue{K_6(3|0)}$$

3. Fall: $x+y=8$$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g_3(x;y)\implies\binom{6y-2xy-y^2}{6x-x^2-2xy}=\lambda\binom{1}{1}$$$$\implies6y-2xy-y^2=6x-x^2-2xy\implies y(6-y)=x(6-x)$$$$\implies x=y\;\lor\; y=6-x\implies x=y\;\lor\;x+y=6\stackrel{x+y=8}{\implies}x=y=4$$$$\implies\blue{K_7(4|4)}$$

Wir haben auf dem Rand des Definitionsbereichs (Dreieck) also noch 3 weiter Kandidaten für Extrema gefunden.

Da wir nur die absoluten Extrema angegeben sollen, brauchen wir die blauen Kandidaten gar nicht zu prüfen, ob es tatsächlich Extrema sind. Stattdessen berechnen wir die Funktionswerte:$$\pink{f(2;2)=8}\quad\mapsto\text{absolutes Maximum}$$$$\blue{g(0;3)=0}$$$$\blue{g(3;0)=0}$$$$\blue{g(4;4)=-32}\quad\mapsto\text{absolutes Minimum}$$

Comments

An deinem Vorgehen ist nichts, was man dem Fragesteller nicht schon vor Stunden gesagt hat.

Aber nach deiner Meinung muss Faulheit offensichtlich belohnt werden.

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Aber nach deiner Meinung muss Faulheit offensichtlich belohnt werden.

Das hast du hier doch ständig. :) Und wie du weißt, ist das diesen Leuten auch vollkommen egal.

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Die Antwort von MC enthält mehr falsche als richtige "Ergebnisse", weil er sie einfach unreflektiert von WolframAlpha übernommen hat.

Die Antwort von abakus ist nur eine detailliertere Aufgabenbeschreibung. Der Fragensteller hat jedoch um eine Erklärung "Schritt für Schritt" gebeten.

Daher habe ich eine vernünftige Lösung im Sinne des Fragensteller verfasst.

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Du hast ihm einfach das Denken abgenommen, nicht mehr und nicht weniger, also ganz so, wie abakus es sagte,

muss Faulheit offensichtlich belohnt werden.

abakus lieferte eine Schritt für Schritt Erklärung. Der FS hat nur keine Lust, sich damit weiter zu beschäftigen. Ansonsten könnte man ja konkretere Fragen stellen, aber wozu? Irgendwer wird schon irgendwann kommen und die Aufgabe komplett vorrechnen.

MC lieferte Kontrollergebnisse oder zumindest den Hinweis, sich über Tools wie WolframAlpha Kontrollergebnisse zu holen, mit dem Hinweis, diese kritisch zu betrachten.

Es wird so oft der Einsatz von digitalen Werkzeugen und KI kritisiert, aber hier werden den Leuten die Lösungen auf dem Silbertablett serviert, was aus meiner Sicht nach wie vor reine Selbstdarstellung ist und pädagogisch höchst fragwürdig. Und dann wundern wir uns über "Fachkräftemangel" etc...

Answer 2

1) Untersuche, ob es LOKALE Extrema gibt (beide partielle Ableitungen gleich 0 setzen, Gleichungssystem lösen, Test mit Hesse-Matrix, ob (und wenn ja, welcher Art) ein Extremum vorliegt.

Die so gefundenen Extremstellen kannst du ignorieren, wenn sie außerhalb des vorgegebenen Dreiecks liegen.

2) Untersuche, ob es auf der x-Achse zwischen y=0 und y=8 einen kleinsten/größten Funktionswert gibt.

3) Untersuche, ob es auf der y-Achse zwischen x=0 und x=8 einen kleinsten/größten Funktionswert gibt.

4) Untersuche, ob es auf der Gerade y=8-x einen kleinsten/größten Funktionswert gibt.

Suche aus den Ergebnissen von 1) bis 4) den größten/kleinsten Wert aus. An welcher Stelle (x,y) wird dieser jeweils angenommen?

Answer 3

Wo liegen denn genau die Probleme? Wenn du eine Ahnung haben möchtest von der Aufgabe ist es vielleicht ratsam sich die Funktion Plotten zu lassen, Wolframalpha bietet sich an. Achtung. Rechnung bzw. Lösungen sind mit Vorsicht zu genießen.

Comments

Dieses "Horn" beim Funktionsplot, ist das ein Gleitkommafehler o.ä.?

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Dieses "Horn" beim Funktionsplot, ist das ein Gleitkommafehler?

Seriös kann ich nicht beantworten, wie sowas zustande kommen kann. Wie ich bereits in einem anderen Beitrag mal vermerkt habe, hüllt sich auch Wolframalpha auf Nachfrage in Schweigen. Ich selber habe schon die Vermutung gehabt an Wolframalpha wird nicht mehr gearbeitet und Fehler die auftreten auch nicht verbessert. Das ist aber nur eine sehr subjektive Einschätzung von mir und ist auch überhaupt nicht seriös.

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Es ist ja eine ans Web angeschraubte Version von Mathematica. Dort entdecke ich ca. einmal jährlich einen Bug, dokumentiere den brav und berichte an den Hersteller, und kriege dann nach ein paar Tagen eine Mail wonach es 1. ein Bedienungsfehler von mir sei, 2. ein Workaround existiere nämlich.... und 3. man es den Entwicklern weitergemeldet habe. In der nächsten Version ist es dann meistens behoben, öfters so, dass es das dann nicht mehr auszurechnen versucht.

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Tja. Dann kannst du vermutlich schauen, ob der Bug auch in Mathematica existiert.

Vermutlich nicht. Vermutlich steckt hinter dem Webfrontend eine gnadenlos veraltete Version von Mathematica. Denn regelmäßig stolpert man über irgendwelche Dinge von denen man sich wünschen würde sie würden anders laufen.

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Leider nicht, Alpha zeigt nur das Mathematica-Statement für das Extremstellenfinden an, nicht auch für die von Alpha unverlangt mitangezeigte Graphik.