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ich habe ein ein durchgerechnetes Beispiel, wo bestimmt werden muss, ob f(z) holomorph bzw. meromorph und man die Singularitäten bestimmen soll.


Ich habe hier vorliegen


f(z) = \( \frac{e^{z^{5}}-1}{z^{5}} \) = \( \frac{1}{z^{5}} \) · \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{z^{5k}}{k!}} \) = \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{z^{5k}}{(k+1)!}} \)

daraus soll sich schlussfolgern lassen, dass f(z) holomorph ist und z=0 eine hebbare Singularität ist.
Wie kommt man auf diese Aussagen?

Müsste man nicht f(z) auf eine Laurent-Reihe umformen? Das wiederum geht wieder nur, wenn f(z) bereits holomorph ist.
Warum ist z=0 eine Singularität? Klar ist in der Ausgangsform eine Division durch null nicht ableitbar, aber anscheinend ist in der Reihendarstellung keine Division durch 0 zu erkennen und eine Summe von Nullen ist doch wieder 0 und sollte ableitbar sein? Wie wurde hier vorgegangen?

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Was dort steht, ist tatsächlich etwas unsauber. Eigentlich müsste dort stehen:

\(f(z) =  \frac{e^{z^{5}}-1}{z^{5}} \) = \( \frac{1}{z^{5}} \) · \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{z^{5k}}{k!}} \) = \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{z^{5k}}{(k+1)!}} \color{blue}{\text{ für } z\neq 0} \quad (\star)\)

Es ist gut, dass du diese Unzulänglichkeit wahrgenommen hast.

Folgende Aussage von dir stimmt so nicht:

Müsste man nicht f(z) auf eine Laurent-Reihe umformen? Das wiederum geht wieder nur, wenn f(z) bereits holomorph ist.

Für eine isolierte Singularität \(z_0\) muss \(f(z)\) in einer Umgebung von \(z_0\) ohne \(z_0\) holomorph sein. Das ist hier gegeben. Die Laurent-Reihe um \(z_0\) ist dann eindeutig bestimmt und genau diese wird in \((\star)\) berechnet.

Offensichtlich stimmen \(f(z)\) und \(g(z) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{z^{5k}}{(k+1)!}}\) auf \(\mathbb C\setminus\{0\}\) überein. \(g\) ist aber holomorph. Damit hat \(f\) bei \(z_0=0\) eine hebbare Singularität.


Falls ihr schon den Riemannschen Hebbarkeitssatz hattet, kannst du auch so argumentieren:

\(f(z)\) ist für \(z\neq 0\) holomorph. Außerdem existiert \(\displaystyle \lim_{z\to 0}f(z)\). Damit ist \(f\) bei \(z_0=0\) beschränkt. Also ist die Singularität hebbar.

Avatar von 11 k

und da \(g(z) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{z^{5k}}{(k+1)!}}\) gegen einen Wert konvergiert für z<0 und z>0

ist es eine hebbare Singularität, richtig so?

Nein.
Erstens ist \(g(z)\) offenbar holomorph in \(z_0 = 0\).
Außerdem macht \(z>0\) und \(z<0\) in \(\mathbb C\) keinen Sinn.

Entscheidend ist, dass \(f\) mit \(g\) für \(z\neq 0\) übereinstimmt und \(g\) aber auch in \(z_0 = 0\) holomorph ist. Daher hat \(f\) eine hebbare Singularität.

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