n-dimensionale Matrizen berechnen:

Question

Aufgabe:

a) Berechne die Determinante

Text erkannt:

\( M=\left(\begin{array}{cccccc}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & \cdots & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & \cdots & 0 & 3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & n-1 & n-1 \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n\end{array}\right) \).

Problem/Ansatz:

Ich habe ein bisschen probleme damit n Dimensionale matrizen zu berechnen. Ich verstehe ehrlich gesagt nicht wirklich wie man bej sowas vor geht. Kann wer helfen?

Comments

Na ja, genau wie sonst auch. Schau Dir die Matrix mal scharf an, es gibt viele Nullen und da bietet sich der Entwicklungssatz an. Beispiel 1. Spalte, zwei von Null verschiedene Werte, erst die 1 unten noch beseitigen, dann hast Du nur eine 1 bei a11, Rest Nullen, dann Entwicklungssatz und genauso mit der sich ergebenen Matrix weiter…

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Alternativ: Subtrahiere die ersten n-1 Zeilen von der n-ten und erhalte eine obere Dreiecksmatrix.

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Helfen kann es, wenn man die Determinante für konkrete Matrizen z.B. mit n = 4 oder 5 ausrechnet. Übertrage das Vorgehen, dann auf eine allgemeine n x n Matrix.

Nur zur Kontrolle komme ich auf:

[spoiler]

det(M) = 1/2·(3 - n)·n!

[/spoiler]

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Ah, OK! Danke Leute für eure Tipps! Hab wohl zu kompliziert gedacht lul

Answer 1

Aloha :)

Du kannst die Determinante auf Diagonalgestalt bringen.$$D=\left\|\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\0 & 2 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 2\\0 & 0 & 3 & 0 & \cdots & 0 & 3\\0 & 0 & 0 & 4 & \cdots & 0 & 4\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & n-1 & n-1\\ 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & n-1 & n\end{array}\right\|$$

Dazu subtrahiere die erste Zeile von der letzen, subtrahiere die zweite Zeile von der letzten, subtrahiere die dritte Zeile von der letzten... subtrahiere die vorletzte Zeile von der letzten:$$\phantom D=\left\|\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\0 & 2 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 2\\0 & 0 & 3 & 0 & \cdots & 0 & 3\\0 & 0 & 0 & 4 & \cdots & 0 & 4\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & n-1 & n-1\\ \pink0 & \pink0 & \pink0 & \pink0 & \cdots & \pink0 & \pink{n-1-2-3-\ldots-(n-1)}\end{array}\right\|$$

Das Element rechts unten in der Matrix können wir mit der Gauß'schen Summenformel vereinfachen:$$\phantom=n-1-2-3-\ldots-(n-1)=n-\left(1+2+3+\ldots+(n-1)\right)$$$$=n-\frac{(n-1)^2+(n-1)}{2}=n-\frac{n(n-1)}{2}=\frac{3n-n^2}{2}=\frac{n(3-n)}{2}$$

Subtrahiere nun die erste Spalte von der letzen, die zweite Spalte von der letzten, die dritte Spalte von der letzen... subtrahiere die vorletzte Spalte von der letzten:$$\phantom D=\left\|\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \green0\\0 & 2 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \green0\\0 & 0 & 3 & 0 & \cdots & 0 &\green0\\0 & 0 & 0 & 4 & \cdots & 0 & \green0\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & n-1 & \green0\\[1ex] \pink0 & \pink0 & \pink0 & \pink0 & \cdots & \pink0 & \green{\frac{n(3-n)}{2}}\end{array}\right\|$$

Die Determinate einer Diagonalmatrix ist gleich dem Produkt der Diagonalelemente:$$D=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdots(n-1)\cdot\frac{n(3-n)}{2}=\frac{n!}{2}\cdot(3-n)$$

Comments

Subtrahiere nun die erste Spalte von der letzen, die zweite Spalte von der letzten, die dritte Spalte von der letzen... subtrahiere die vorletzte Spalte von der letzten:

Warum du das machst, ist mir nicht klar. Man hat schon im Schritt vorher eine Dreiecksmatrix für die gilt:

Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt ihrer Hauptdiagonalelemente.