Zeigen, dass durch die Gleichungen in einer Umgebung von x=0 zwei Funktionen mit … definiert werden

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass durch die folgenden Gleichungen jeweils in einer Umgebung von \( x=0 \) zwei Funktionen \( y, z \) mit \( y(0)=z(0)=0 \) definiert werden.

(a) \( x+y-\sin (z)=0 \) und \( \mathrm{e}^{x}-x-y^{3}=1 \).

(b) \( x+y-\sin (z)=0 \) und \( \mathrm{e}^{z}-x-y^{3}=1 \).

Problem/Ansatz:

Bin hier überfordert. Brauche ich den satz über implizierte funktionen?

LG

Answer 1

Bei a) kommt man ohne den Satz über implizite Funktionen aus. Man kann \(y(x)=\sqrt[3]{\mathrm{e}^{x}-x-1}\) direkt angeben. Es bleibt zu zeigen, dass die Funktion wohldefiniert ist (der Radikand ist größer gleich 0).

Aus der ersten Gleichung kann man \(\sin(z(x))=x+y(x)\) erhalten. Hier muss man argumentieren, dass der Sinus um \(x=0\) invertierbar ist. Dann erhält man sofort \(z(x)=\arcsin(x+y(x))\).

Bei b) löst man die erste Gleichung nach \(y\) auf und setzt sie in die zweite Gleichung ein. Damit erhält man \(F(x,z)=\mathrm{e}^{z}-x-1-(\sin(z)-x)^3\). Darauf wendet man den Satz über implizite Funktionen an.

Answer 2

Für Aufgabe b) kann man den Satz über implizite Funktionen im Mehrdimensionalen benutzen. Dazu sei

$$F:\R^3 \to \R^2, \quad F(x,y,z):= \begin{pmatrix} x+y-\sin(z)\\ \exp(z)-x-y^3-1 \end{pmatrix}$$

Nun benötigt man die partielle Ableitung

$$D_{(y,z)}F(x,y,z)=\begin{pmatrix} 1 & -\cos(z) \\-3y^2 & \exp(z) \end{pmatrix} \text{  mit }D_{(y,z)}F(0,0,0)=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\0 & 1 \end{pmatrix}$$

Da die Ableitungsmatrix im Nullpunkt regulär ist, folgt aus dem Satz über implizite Funktionen die Existenz von Funktionen \(f,g\), so dass lokal um \(t=0\) gilt:

$$F(t,f(t),g(t))=0$$

Das funktioniert bei Aufgabe a) nicht, weil dort die benötigte Ableitungsmatrix singulär ist. Dennoch, so hat A gezeigt, existieren die Lösungsfunktionen, sind aber im Nullpunkt nicht differenzierbar.