Ist R ein Vktrrm? ………..

Question

Ist R & Q ein Vktrrm? Nch Dfntn erfllt es ja die Eignschftn aber es wrd nie gesgt

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R & Q ein Vktrrm

Jedenfalls ist H & M ein Txtlhndlsntrnhmn.

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mne frge wr zu R &Q

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Irgendetwas stimmt mit deinen Vokalen nicht. ;)

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Bin ich als Tutor geeignet?

Hm...

Ist R & Q ein Vktrrm? Nch Dfntn erfllt es ja die Eignschftn aber es wrd nie gesgt

Vielleicht eher nicht.

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das war mein grosser bruder mit der tutorfrage

bin seine schwester

er hatte gerade keine zeit und da wllte ich hier frgn

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Irgendetwas stimmt mit deinen Vokalen nicht. ;)

Ich wollte eigentlich auf eine gewisse Singular-Plural-Diskrepanz in der Frage hinweisen.

Answer 1

Hallo.

Die Menge der reellen Zahlen |R ist ein |R & Q-Vektorraum so wie isomorph zu |R¹, dem 1-dimensionalen Vektorraum aller Vektoren (x)^T mit einer Komponente. Das zu zeigen ist trivial, denn |R ist die Menge aller möglichen Zahlen (ausser komplexe Zahlen) und ist unendlich.

Q dagegen ist zwar auch unendlich aber kein |R-Vektorraum, denn wenn du eine beliebige rationale Zahl q ∈ Q nimmst & einen irrationalen Skalar r ∈ |R \ Q, so gilt dann für die Skalarmultiplikation auch die Irrationalität, also ist r*q ∈ |R \ Q. Das verletzt das Axiom der Skalarmultiplikation. Jedoch ist Q dagegen aber ein Q-Vektorraum, da dann der Skalar auch rational sein muss und das Produkt weiterhin rational bleibt.

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danke ist mir jzt klr

Answer 2

Na, wenn die Eigenschaften erfüllt sind, dann sind es wohl Vektorräume. Beachte aber bitte den zugrunde liegenden Körper. Denn \(\mathbb{Q}\) ist offensichtlich kein \(\mathbb{R}\)-Vektorraum, aber ein \(\mathbb{Q}\)-Vektorraum.

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wsn dr untrschd zwschn R &Q Raum?

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Schau in die Definition. Die Skalare für die Skalarmultiplikation kommen aus dem entsprechenden Körper. Du kannst dir dann überlegen, warum \(\mathbb{Q}\) über \(\mathbb{R}\) keinen Vektorraum bildet.

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ah weil der sklr dann auch irrational sein knn

dann wenn a in Q ist πa ncht in Q

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Zum Beispiel.

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danke

bin übrigens die schwester magdalene von maximilian

also er weiss das ja bestimmt nur hatte er grad keine zeit

Answer 3

R kann ein R-Vektorraum und Q kann ein Q-Vektorraum sein.

Ein Vektor aus Rⁿ besteht dabei aus reellen Zahlen und ein Vektor aus Qⁿ aus rationalen Zahlen. In deinem Fall geht es um R¹ und Q¹.

Dabei müssen folgende Axiome erfüllt sein

Axiome der Vektoraddition

- Abgeschlossenheit unter Addition
- Assoziativität der Addition
- Kommutativität der Addition
- Existenz eines Nullvektors
- Existenz inverser Elemente

Axiome der Skalarmultiplikation

- Abgeschlossenheit unter Skalarmultiplikation
- Assoziativität der Skalarmultiplikation
- Distributivität der Skalarmultiplikation über die Vektoraddition
- Distributivität der Skalarmultiplikation über die Skalare
- Existenz eines Einselements

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So einfach ist das nicht (lesen der anderen Antworten hätte... achja, das Thema hatten wir ja schon...).
Es gibt nicht "Vektorraum", sondern nur "K-Vektorraum" mit einem Körper K. Und darauf kommt es hier an. Auch chatGPT weiß das.

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R ist ein R-Vektorraum und Q ist ein Q-Vektorraum.

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\(\mathbb{R}\) ist aber auch ein \(\mathbb{Q}\)-Vektorraum. Frage mich aber sowieso, wieso Antworten hier inhaltlich wiederholt werden.

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R ist ein R-Vektorraum und Q ist ein Q-Vektorraum.

Warum?

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Ok.

R kann ein R-Vektorraum und Q kann ein Q-Vektorraum sein.

So besser?