Entscheiden Sie mit Begründung, welche der folgenden Aussagen von der obigen Aussage impliziert werden

Question

Aufgabe:

∀n ∈ N : ∃m ∈ N :
(n ≤ m < 2n) ∧ (m + 1 ∈ M)

Entscheiden Sie mit Begründung, welche der folgenden Aussagen von der obigen Aussage
impliziert werden:
(A) 1 ∈ M ∨ 2 ∈ M
(B) Die Menge M ist leer.
(C) ∃n ∈ N : n ∈ M

Problem/Ansatz:

Ich weiß bei dieser Aufgabe leider gar nicht weiter... Hat jemand eventuell ein Tipp und kann helfen? Wäre sehr nett :)

Answer 1

Hier helfen zunächst einmal Zahlenbeispiele. Wenn $N=\mathbb{N}$, dann existiert für jede natürliche Zahl $n$ eine natürliche Zahl $m$ so, dass $n\leq m< 2n$ gilt und das $m+1$ dann in $M$ enthalten ist. Für $n=1$ ist das zum Beispiel die Zahl $m=2$, denn $1\leq 1<2$. Damit ist $2\in M$. Für $n=10$ existieren mehrere Zahlen, die $10\leq m <20$ erfüllen. Was folgt dann für die Elemente von $M$?

Comments

ahh okay also etwa so?

n=1
1=<m<2n => m=1
m+1=2 ∈M

weil hier hab ich ja beide aussagen bewiesen und gezeigt das 2 element aus M ist. Und ich brauche hier keine fallunterscheidung bei der verknüpfung oder?

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Genau. Die Aussage bei A lautet ja "oder". Da $2\in M$ ist, folgt daraus also, dass Aussage A richtig ist. Damit wird A von der obigen Aussage impliziert.

Es muss $1\leq m<2$ heißen. Achte auf so etwas, das ist in der Mathematik wichtig, genau und sauber zu arbeiten.

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okay, vielen danke!
kann man für (c) auch n=1 benutzen? weil die bedingungen von ∀n ∈ N : ∃m ∈ N :
(n ≤ m < 2n) ∧ (m + 1 ∈ M) werden erfüllt. die 1 ist ja dann aber nicht in M. also wäre diese implikation auch korrekt oder?

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Nein, Aussage C wird nicht impliziert. Denn die obige Aussage sagt ja nichts darüber aus, dass ein $n$ existiert, welches auch in $M$ liegt. Sie sagt nur, dass es ein $m$ gibt, dessen Nachfolger in $M$ liegt.

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oh okay vielen dank! aber wie kann ich dies jetzt "beweisen"? oder kann ich das einfach genau so erklären?

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Von einem Beweis steht da ja nichts. Du musst es nur begründen. Aussagen, die nicht gelten, lassen sich mit einem Gegenbeispiel widerlegen.

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Aussage C wird nicht impliziert

Das sehe ich anders.

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Stimmt. Irgendwie hatte ich da einen Denkfehler. Ist ja auch ganz einfach: Wir haben ja schon festgestellt, dass die Menge $M$ nicht leer ist. Also gibt es natürlich ein $n$ aus $N$, so dass dieses auch in $M$ liegt.