Bestimmen Sie alle Gleichgewichte (d.h., konstante Lösungen).

Question

Aufgabe:

Ich habe vor die folgende Aufgabe zu lösen. In Aufgabe 2 geht es im Prinzip um die dafür notwenige Polardarstellung. Hat jemand evtl. eine intuitive Anschauung für die Aufgabe und Tipps zur Bearbeitung? Bei a) ist wohl (0,0) der einzige Fixpunkt, soweit ich richtig gerechnet habe. Ich danke im Voraus!

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Aufgabe 3 Untersuchen Sie qualitativ die Lösungen der folgenden Differentialgleichung:
\( \left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=\left(1-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) x-y \\ y^{\prime}=\left(1-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) y+x . \end{array}\right. \)
[Hinweise: verwenden Sie Aufgabe 2.] Insbesondere:
a) Bestimmen Sie alle Gleichgewichte (d.h., konstante Lösungen).
b) Bestimmen Sie sowohl alle nicht-konstante periodische Lösungen als auch ihre minimale Periode.
c) Nachdem Sie überprüft haben, dass das maximale Existenzintervall aller Löseungen das Intervall \( [0,+\infty) \) enthält, bestimmen Sie das asymptotische Verhalten dieser Lösungen für \( t \rightarrow+\infty \).
d) Welche Lösungen sind auf dem ganzen \( \mathbb{R} \) definiert?

Comments

Wenn du Polarkoordinaten \((r,\phi)\) einführst, wird das System zu

$$\begin{array}{rcl} r' & = & (1-r)r \\ \phi' & = & 1\end{array}$$

Daran lässt sich eine Menge ablesen.

Answer 1

a) Ob Du richtig gerechnet hast, weiß ich nicht. Ich komme auch auf nur eine konstante Lösung, nämlich (0,0).

Für alles andere braucht man die Aufgabe 2, und zwar wörtlich und vollständig. "Es geht im Prinzip um" hilft nicht wirklich weiter.