Ebenen Koordinatenform aufstellen

Question

Aufgabe:

Gesucht ist eine Koordinatengleichung der beschriebenen oder dargestellten Ebene.

d) Die Ebene geht durch den Punkt P(4,4,0) und ist parallel zur z-Achse, Ihr y-Achsenabschnitt beträgt y=12

Wie rechnet man das?

Answer 1

Aloha :)

Wir haben hier folgende Information:

1) Die Ebene geht durch den Punkt $P(4;4;0)$.

2) Die Ebene verläuft parallel zur z-Achse, d.h. ein Richtungsvektor ist $\vec v=(0;0;1)^T$.

3) Ihr y-Achsenabschnitt beträgt $y=12$, d.h. der Punkt $Q(0;12;0)$ liegt in der Ebene.

Da die Punkte $P$ und $Q$ in der Ebene liegen, muss auch der Verbindungsvektor der beiden Punkte in der Ebene liegen, wir können ihn daher als zweiten Richtungsvektor nutzen:$$\vec w=\overrightarrow{PQ}=\vec q-\vec p=\begin{pmatrix}0-4\\12-4\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\8\\0\end{pmatrix}$$

Daraus bestimmen wir einen Normalenvektor $\vec n$ der Ebene:$$\vec n=\vec v\times\vec w=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-4\\8\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\\-4\\0\end{pmatrix}$$

Mit dem Punkt $Q(0;12;0)$ führt uns das auf folgende Normalengleichung:$$\vec n\times \vec x=\vec n\times\vec q\implies\begin{pmatrix}-8\\-4\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\\-4\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\12\\10\end{pmatrix}\implies-8x-4y=-48$$

Wir dividieren noch beide Seiten druch $(-4)$ und erhalten als Koordinatengleichung für die Ebene:$$E\colon2x+y=12$$

Comments

Aus dem Ansatz E : ax + by + cz = d erhält man wegen der Parallelität zur z-Achse zunächst c=0 und durch Einsetzen der Punkte (4|4|0) und (0|12|0) das Gleichungssystem 4a + 4b = d , 12b = d , worin eine Variable frei wählbar ist, z.B. b=1, was auf d=12 und a=2 und somit auf E : 2x + y = 12  führt.

Answer 2

Eine Koordinatengleichung ist nichts anderes als eine ausmultiplizierte Normalenform (die enthält ja ein Skalarprodukt). Normalenform kannst Du schon.

Schalte wieder die geometrische Vorstellung ein: ein Normalenvektor zur Ebene liegt dann parallel zu welcher Ebene? Hat also welche allgemeine Form? Da es auf die Länge nicht ankommt, kannst Du eine der Koordinaten einfach auf 1 setzen. Dann hat er noch eine Unbekannte.

Stelle die Normalenform wie in der vorigen Aufgabe auf, mit dem Punkt P. Einen weiteren Punkt kannst Du aus der Angabe zum y-Achsenabschnitt finden (geometrische Vorstellung!). Diesen einsetzen und damit die verbliebene Unbekannte bestimmen. Dann hast Du alles.

Was erhältst Du? Bei Problemen melde Dich gerne mit Zwischenergebnissen.

Comments

Ich verstehe wie ich den einen Richtungsvektor bilden kann. Aus den anderen Antworten konnte ich entnehmen dass ein weiterer Richtungsvektor (0,0,1) wäre aufgrundessen dass dieser parallel zur z-Achse ist. Ich verstehe nicht ganz wieso ich den einfach nehmen kann.

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Die Antworten verwenden versch. Rechenwege. Entscheide Dich für einen. Meiner baut auf der Normalenform auf, die Du ja kennst. Hier kommen keine Richtungsvektoren vor.

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An sich finde ich geometrisch vorstellen auch flexibler aber irgendwie verstehe ich immer noch nicht wie ich vorgehen soll.

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Gut. Ich hab Dir die Schritte ja genannt. Dein Ergebnis/Antwort vom ersten Schritt?

Answer 3

Alternativer Ansatz über die Parametergleichung bzw. über einen zweiten Richtungsvektor:

Den ersten Richtungsvektor erhältst du durch die Parallelität zur $z$-Achse. Welche Richtung ist das also?

Den zweiten Richtungsvektor erhältst du durch die Verbindung zweier gegebener Punkte. Die hast du, denn der eine Punkt ist direkt angegeben, der andere Punkt wird durch den $y$-Achsenabschnitt beschrieben. Welche Koordinaten hat dieser Punkt? Der Verbindungsvektor dieser beiden Punkte liefert den zweiten Richtungsvektor.

Nun kannst du mit den Richtungsvektoren den Normalenvektor bestimmen und die Koordinatengleichung aufstellen.