Laurent-Reihenentwicklung einer Funktion

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Laurent-Reihenentwicklung der Funktion

\(f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-2)}\)

a) \(|z| < 1\)

b) \(1 < |z| < 2\),

c) \(|z| > 2\)

Problem/Ansatz:

Also ich würde erstmal bei der Funktion eine Partialbruchzerlegung machen und danach die einzelnen brüche umschreiben für die jeweiligen Bedingungen. Allerdings habe ich Probleme damit diese Formen als Reihen zu schreiben.

Also ich bin mir sicher das man es aufgrund der Form des Bruches als eine geometrische Reihe schreiben kann, aber ich habe Probleme es detaillierter (bezogen auf den brüchen) zu schreiben.

Kann wer helfen?

Answer 1

Ich denke der Plan ist gut. Und wie die geometrische Reihe aussieht, weißt Du auch.

Jetzt muß man nur schauen, dass für die Konvergenz in den einzelnen Bereichen jeweils die Bedingung  |q| < 1 erfüllt ist. Da könnte man ja vielleicht geschickt ausklammern und den Faktor vor die Summe ziehen…