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Hei :)

 

ich komme bei c) und d) bei einem Beispiel nicht weiter.

Ich habe folgende Funktion: K(t) = 8*e^{-0,112*t}

c) Ich soll heruasfinden, wann K(t) = 3,9 und 5,5 ist. Komme aber mit der Umformung nicht klar.

d) Hier hab ich eine neue Funktion: K(t) = K0 * e^{-0,15*x}

Die Frage: Wann ist hier nur mehr 40 % der anfänglichen Konzentration feststellbar?

Wie soll ich das jedoch ohne Wrt für K0 berechnen?

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c)

3,9 = 8 * e -0,112 * t

<=> 3,9 / 8 = e -0,112 * t

Nun auf beide Seiten den natürlichen Logarithmus anwenden:

<=> ln ( 3,9 / 8 ) = ln ( e -0,112 * t  )

Da ln (x ) die Umkehrfunktion der e-Funktion ist, gilt: ln ( e x  ) = x, also:

<=> ln ( 3,9 / 8 ) = - 0,112 * t

<=> t = ln ( 3,9 / 8 ) / - 0,112 ≈ 6,414866

 

Genau so geht es auch mit 5,5 statt 3,9

 

d)

K(t) = K0 * e - 0,15 * x

(Anmerkung: statt x muss im Exponenten t stehen.)

Wann ist hier nur mehr 40 % der anfänglichen Konzentration feststellbar?
 

Wie soll ich das jedoch ohne Wrt für K0 berechnen?

Nun, die Lösung hängt nicht von dem Wert von K0 ab! Deshalb brauchst du ihn nicht zu kennen. Egal, wie groß der Wert von K0 ist, 40 % der anfänglichen Konzentratin werden immer nach derselben Zeitspanne t erreicht!

Das siehst du gut in folgender Berechnung:

K( t ) = K0 * e - 0,15 * t

Gefragt ist nun nach dem Zeitraum t, nach dem nur noch 40 % der ursprünglichen Konzentration vorhanden ist, nach dem also gilt:

K ( t ) = 0,4 * K0

Setzt man nun 0,4 * K0 für K ( t ) in die Formel ein, so erhält man:

0,4 * K0 = K0 * e - 0,15 * t

Beide Seiten  durch K0 dividieren:

<=> 0,4 = e - 0,15 * t

Wie du siehst, ist K0 herausgefallen!

<=> ln ( 0,4 ) = - 0,15 * t

<=> t = ln ( 0,4 ) / - 0,15 ≈ 6,108605

Also:
Nach ungefähr t = 6,1 Perioden (das können z.B. Minuten sein) ist nur noch 40 % der ursprünglichen Konzentration vorhanden ( und zwar unabhängig von der Anfangskonzentration K0 ).

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