Question

wie löse ich folgende Differentialgleichung mit dem Matrixexponential?

f: ℝ→ℝ²

A Matrix siehe unten

f'(t) - \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \) * f(t) = \( \begin{pmatrix} 1\\t \end{pmatrix} \) und f(0) = \( \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \)

Löst man hier zunächst einfach die homogene Gleichung mit f' -A*f = \( \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \) ?
Wie geht man hier anschließend mit dem Störterm um?
Wendet man hier Variation der Konstanten an?

Comments

Ja und ja. Du verschafft Dir ein Fundamentalsystem X(t), zum Beispiel exp(t*A). Dann findest Du eine Lösung der inhomogenen Gleichung durch den Ansatz f(t)=X(t)*c(t)

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Also ich hätte nun:
A ist nicht diagonalisierbar, also verwende ich nun die Jordannormalform:

J = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) mit A=S*J*S^-1 und S = \( \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) und S^-1 = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \)

J lässt sich schreiben als D + N wobei D = Nullmatrix und N = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Es gilt D*N=N*D also gilt

e^t*A=S*e^t*D*e^t*N*S^-1

e^t*N=\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) + t * \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)

e^t*A=S*\( \begin{pmatrix} e^{0} & 0 \\ 0 & e^{0} \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} 0 & t \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) * \( S^{-1} \)

Am Ende erhalte ich e^t*A=\( \begin{pmatrix} t & t \\ -t & -t \end{pmatrix} \)

Wie fahre ich hier fort?

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Du hast exp(tN) falsch übertragen, + statt *.

Dann geht es eben mit Variation der Konstanten weiter, s.o.

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Ups

also e^t*a = \( \begin{pmatrix} t+1 & t \\ -t & -t+1 \end{pmatrix} \)

also habe ich für die homogene Lösung f'-A*f=0

f_h = c₁ * \( \begin{pmatrix} t+1\\-t \end{pmatrix} \) + c₂ * \( \begin{pmatrix} t\\-t+1 \end{pmatrix} \)

Ich verstehe das leider nicht, wie ich nun VdK hier anwende. Könntest du mir das bitte erklären?

Answer 1

Also Variation der Konstanten , man führt die Rechenschritte am besten abstrakt durch und hat am Ende eine Formel: Fundamentalsystem X(t), z.B. das Matrixexponential. Also X(t) ist regulär und erfüllt \(X'=AX\). Gleichung

$$f'(t)=Af(t)+r(t)$$

Ansatz: \(f(t):=X(t)c(t)\). Einsetzen in die Differentialgleichung:

$$f'(t)-Af(t)=X'(t)c(t)+X(t)c'(t)-AX(t)c(t)\\\quad =AX(t)c(t)+X(t)c'(t)-AX(t)c(t)\\\quad =X(t)c'(t)=r(t) \iff c'(t)=X(t)^{-1}r(t)$$

Durch Integration gewinnt man dann (ein) c und damit eine Lösung der inhomogenen Gleichung.

Manchmal wird das Ganze auch als eine Formel dargestellt:

$$f(t)=X(t)\int_0^t X(s)^{-1}r(s) \; ds$$

(oder mit einer anderen unteren Grenze für das Integral.

Comments

Vielen lieben Dank! Mir war nicht bewusst, dass ich VdK auch mit Matrizen so einfach wahrnehmen kann.