Matrix finden zu gegebenem Matrixexponential

Question

ich komme bei der folgenden Aufgabe einfach nicht weiter, habe schon alles versucht aber irgendwie bekomme ich es in diese Richtung einfach nicht hin :(

Finden Sie eine Matrix A∈ℝ^nxn , für die gilt:

exp(A)=( 2-e   -1+e

2-2e   -1+2e)

Wäre super wenn mir jemand helfen könnte :)

Answer 1

Bei einer diagonalisierbaren Matrix gilt ja:
es ist  exp(A) auch diagonalisierbar mit der gleichen Transformationsmatrix.
Das kann man ja mal anders herum versuchen:

Deine gegebene Matrix B hat die Eigenwerte e und 1
und die Eigenvektoren  ( 1;2) und (1;1) .
Damit ist U =
1    1
2    1
eine Matrix mit
U ^-1 * B * U = Diagonalmatrix.
Erwartungsgemäß gibt es auch D=
e    0
0    1

Wenn nun X die Diagonalmatrix zu A ist,
Dann ist
exp( A) = U ^-1 * exp(X) * U
und exp(X)=
e    0

0   1

also X =
1   0
0   0

und wegen

A = U ^-1 * X * U

bekommst du so das gesuchte A=
-1  -1
2    2

Probe exp(A) = B  passt!

Comments

HI,

ich glaube man muss \( A = U X U^{-1} \) rechnen , dann erhält man \( A = \begin{pmatrix}  -1 & 1 \\ -2 & 2  \end{pmatrix} \) und das ergibt auch \( exp(A) = B \)

Bei Deinem \( A \) kommt heraus

$$  exp(A) = \begin{pmatrix}  2-e & 1-e \\ 2e-2 & 2e-1  \end{pmatrix} $$

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Na ja, das soll doch rauskommen.

Ach so, ich seh gerade: Stimmen ein paat Vorzeichen nicht !