Integral über (sin(x)+cos(x))2 dx umschreiben

Question

Aufgabe:

$$\int \limits_{a}^{b}(sin(x)+cos(x))^2dx$$

Problem/Ansatz:

Answer 1

Ist dir klar, dass der Integrand in 1+ sin(2x) umgeschrieben werden kann?

(Binomische Formel, Trigonometrischer Pythagoras und Doppelwinkelformel)

Comments

ja, und dann bekomme ich als Lösung : sin²(x) + x +C

Aber mein Mathebuch zeigt : x - 1/2cos(2x) + C

Ups! Habe soebe den Fehler gefunden, sorry für die Störung.

Danke trotzdem Abakus

Answer 2

Aloha :)

Du hast den Integranden richtig umgeschrieben:$$(\sin (x)+\cos (x))^2=\pink{\sin^2(x)}+2\sin(x)\cos(x)+\pink{\cos^2(x)}=\pink1+2\sin(x)\cos(x)$$Damit erhältst du dein Integral als richtiges Ergebnis!

Der Musterlöser hat den Term aber noch weiter vereinfacht:$$(\sin (x)+\cos (x))^2=\ldots=1+\green{2\sin(x)\cos(x)}=1+\green{\sin(x+x)}=1+\green{\sin(2x)}$$Damit ergibt sich das Integral aus der Musterlösung.

Comments

Danke Tschakabumba,

inzwischen habe ich die richtige Lösung erarbeitet.