Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Extremwerte

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob die Funktion f(x,y) = x³ - 12xy + 8y³  Extremwerte besitzt und charakterisieren Sie diese ggf.

Problem/Ansatz:

Die Ableitungen konnte ich bilden, aber wie geht es dann weiter?

Answer 1

1. Partielle Ableitungen gleich 0 setzen,
2. Gleichungssystem lösen.
   
3. Hesse-Matrix an den Nullstellen der Ableitung bestimmen.
   
4. Definitheit der Hesse-Matrix prüfen: positiv definit → Tiefpunkt, negativ definit → Hochpunkt, indefinit → Sattelpunkt.

Comments

Danke! Habe einen Sattelpunkt und ein Minimum gefunden.

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Prima. Tiefpunkt bei (2, 1) und Sattenpunkt bei (0, 0)

Answer 2

Beide Ableitungen =0 setzen und das entstehende Gleichungssystem lösen (Übungssache, eine Gleichung umstellen und in die andere einsetzen, dabei Wurzelziehen und Dividieren durch Variablen vermeiden (würde verkomplizieren durch nötige Fallunterscheidungen), Satz vom Nullprodukt).

Beachte, das Lösen liefert Punkte (x,y), also Zahlenpaare, hier zwei. Diese sind Kandidaten für Extremstellen. Ob es wirklich Extremstellen sind, prüft man z.B. mit der zweiten Ableitung (siehe Unterlagen aus der Lehrveranstaltung).

Comments

Ich bin nur auf zwei Punkte gekommen.

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Ja, danke, hast recht, ist korrigiert.