Falls f unbeschränkt ist, ist dann auch die n-fache Komposition f^n für jedes n unbeschränkt?

Question

Sei X ein normierter Raum und f : X —> X linear.

Falls f unbeschränkt ist, ist dann auch die n-fache Komposition f^n für jedes n unbeschränkt? Wenn ja, wie kann man das zeigen?

Comments

Wenn es kein Banachraum ist und die Abbildung nicht stetig, sollte die Aussage im Allgemeinen nicht zutreffen.

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 @user26605  Sind lineare Abb nicht immer stetig?

lul

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In endlich-dimensionalen Räumen ja, in unendlich-dimensionalen normierten Räumen nein.

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Danke für die Korrektur meines Wissens user26605

lul

Answer 1

Die Aussage trifft nicht zu. Dazu ein Beispiel:

Es bezeichne \(C^1[0,1]\) den Raum der stetig-differenzierbaren Abbildungen von \([0,1]\) nach \(\R\) mit der Supremums-Norm. Bekanntlich ist dann die Abbildung \(x \mapsto x'\) unstetig / unbeschränkt. Weiter sei

$$f:\;C^1[0,1] \times C^1[0,1] \to C^1[0,1] \times C^1[0,1], (x,y) \mapsto (0,x')  $$

Dann ist \(f\) unbeschränkt, aber \(f \circ f\) beschränkt.