Gleichungssystem mit 3 Unbekannten wobei b für eine reelle Konstante steht

Question

Aufgabe:

"Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems (G = R × R, b steht für eine reelle Konstante)."

1. 3/2x - by + 1/2 = y/2 + 2b

2. x/2 - b = 2y - 2

Problem/Ansatz

Hallo zusammen

Kann mir jemand bei diesem Gleichungssystems helfen? Ich verstehe nicht, wie ich bei solchen Aufgaben auf die Lösung komme. Die Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten sind kein Problem jedoch bei solch einer Aufgabe fällt der Fünfer leider nicht.

Answer 1

b ist ein Parameter, rechne einfach wie immer und behandle b als sei es irgendeine Zahl. Du bekommst dann z.B. y in Abhängigkeit von b heraus. Jetzt mußt Du 2 Fälle unterscheiden, welche Werte b annehmen kann (Tip: man darf nicht durch Null teilen). Danach geht es wie üblich weiter.

Du hast also 2 Unbekannte und einen Parameter, nicht 3 Unbekannte

Comments

Alles klar, dass hat mir schon ein Stück weit geholfen.

Jedoch stehe ich von einem weiteren Problem was mir schwierikeiten macht.

Ich habe folgendes gemacht:

1.

3x - 2by - y - 4b = -1 (Ich habe den Bruchstrich eliminiert und dann alles ausser den Teil der keine Variable dabei hat auf eine Seite genommen)

2.

x - 2b - 4y = -4

(Dann habe ich die ganze gleichung *(-3) gemacht, sodass wir oben und unten 3x bekommen wobei eine negtiv ist) also folgendes: -3x + 6b + 12y = 12

Jetzt wende ich das Additionsverfahren an. Jedoch verstehe ich nicht was ich mit dem teil (-2by) machen muss.

Muss ich für (b) dann irgendeine reelle Zahl einsetzten und schauen was ich für y bekomme?

oder wie muss ich dies verstehen :D

danke für die Zeit und die Nerven! Ist sehr geschätzt

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Löse eine Gleichung nach x auf und setzte das in die andere ein (oder eliminiere x auf andere Art). Dann bekommst Du y in Abhängigkeit von b.

Du solltest auf etwas in der Art kommen:

\( \left(\frac{11}{2}-b\right)(y-1)=0 \)

Jetzt kommt die Fallunterscheidung für b.

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Dann bekomme ich wenn ich alles richtig gemacht habe:

y= 2/11by - 2/11b + 1 (Ich habe x eliminiert mit dem Additionsverfahren)

Aber was muss ich nun tun, dass verstehe ich nicht.

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Das ist richtig, Du bist gleich da.

Nun alles mit y auf eine Seite, alles andere auf die andere. Dann y ausklammern.

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Also würde dies dann so stimmen?

Lösungsmenge: {(x,y)=(2b,1) für b ungleich 11/2}
{(x,y)=(4y+7,y) für b = 11/2}

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Ja, genau so…um die beiden Mengen gerne noch eine geschweifte Klammer, dann ist es perfekt.

Etwa so:

\( L=\left\{\begin{array}{ll}\{(2 b, 1)\}, & \text { wenn } b \neq \frac{11}{2} \\ \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=4 y+7\right\}, & \text { wenn } b=\frac{11}{2}\end{array}\right. \)

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Mega! danke dir viel mals!

ein erholsames Wochenende!

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Das werde ich sicher haben, danke :-)

Answer 2

Sortiere das Ganze mal ein wenig:

1,5x - (b+0,5)y=2b-0,5

0,5x - 2y = b-2

Multipliziere die zweite Gleichung mit (-3) und addiere die erste Gleichung dazu:

(5,5-b)y=5,5-b.

Jetzt ist eine Fallunterscheidung zwischen b=5,5 und b≠5,5 notwendig.

Comments

mit 3/2 ist nicht 1.5 gemeint sondern 3 über 2 also ein Bruch :D

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mit 3/2 ist nicht 1.5 gemeint sondern 3 über 2 also ein Bruch :D

3 über 2 ist aber kein Bruch, sondern die Zahl \( \frac{3!}{2!·1!} =3\) .

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Im Englischen heißt es aber oft "3 over 2 = 3/2 =1.5".