Intuition anhand von Formeln zeigen

Question

Aufgabe:

Mir wurde gesagt, dass der Integralsatz von Gauß im Zweidimensionalen sich so vorzustellen ist, dass der Fluss. der eine geschlossene Kurve verlässt, gerade der Fluss ist, der von jedem Punkt innerhalb der Fläche resultiert, da das was austritt, in den benachbarten Punkt eintritt und damit nur der äußere Rand zählt. Kann jemand das anhand von Formeln zeigen?

Comments

Ja das paßt schon.

Der Integralsatz von Gauß im Zweidimensionalen lautet:
\( \iint_{A}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right) d A=\oint_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d s \)

Hierbei ist \( \mathbf{F}=(P, Q) \) ein Vektorfeld, \( A \) die Fläche und \( C \) der geschlossene Rand der Fläche mit Normalenvektor \( \mathbf{n} \).
- Die linke Seite ist das Integral der Divergenz von \( \mathbf{F} \) über die Fläche \( A \).
- Die rechte Seite ist das Flussintegral (Linienintegral) von F über den Rand \( C \).

Das bedeutet: Der Fluss, der aus der Fläche heraus durch den Rand \( C \) austritt, entspricht genau der Summe aller Divergenzen innerhalb der Fläche.

Die lokalen Divergenzen innerhalb der Fläche summieren sich genau zu dem Nettofluss durch den Rand. Es zählt also nur, was insgesamt rausgeht, alles andere hebt sich intern auf.