Bestimme alle Punkte der x_{1} -Achse, die von der Geraden g den Abstand 9 L E haben.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Gerade \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 11 \\ 3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), t \in \mathbb{R} \).
(a) Bestimme alle Punkte der \( x_{1} \)-Achse, die von der Geraden \( g \) den Abstand \( 9 L E \) haben.
(b) Bestimme ohne Rechnung den Punkt der \( x_{1} \)-Achse mit dem geringsten Abstand von der Geraden \( g \). Begründe deine Antwort.

Problem/Ansatz:

bei a) habe ich mir überlegt einen Punkt der x1 Achse als (s,0,0) zu nehmen und den Abstand zu einem Punkt P auf g zu berechnen. Dann bekomme ich aber eine Gleichung mit zwei Parametern und komme nicht weiter.

Zu b) könnte ich auch einen Tip gebrauchen wie man das ohne rechnung rauskriegt

Comments

b)

Der Abstand vom gesuchten Punkt zu g ist das Minimum von

\(\displaystyle \sqrt{(0+0 t-x_1)^{2}+(11+t-0)^{2}+(3+t-0)^{2}} \)

was offensichtlich bei x₁ = 0 liegt.

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Danke! Das ist ja genau die Formel die ich bei a nehmen wollte. Zählt das denn als ohne Rechnung begründen?

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Keine Ahnung, wie Eure Lehrkraft es begründet haben will.

Der Abstand ist minimal dort, wo der Radikand minimal ist. Von x₁ ist nur der erste Summand abhängig. Der ist minimal, wenn die Basis der Potenz gleich null ist. Ausgerechnet habe ich damit noch nichts.

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Das ist eine Rechnung und wäre damit nicht im Sinne der Aufgabe. Ohne Rechnung bedeutet wirklich ohne Rechnung und rein argumentativ. Das geht hier auch.

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Oder man sagt, g liegt in der x₂x₃-Ebene, und hat immer den x₁-Wert von null, auch dort wo der minimale Abstand ist.

Answer 1

a) Betrachte die besondere Lage der Geraden. Welche ist das? Überlege dir dann, wie man damit den Abstand eines Punktes auf der \(x\)-Achse bestimmen kann. Eine Skizze und Pythagoras helfen hier.

Dein Ansatz funktioniert nicht, weil du ja nicht einfach einen beliebigen Punkt der Geraden nehmen kannst.

Alternativ gibt es aber auch eine Formel zur Abstandsberechnung. Da weiß ich aber nicht, ob ihr das gemacht habt (vgl. Hessesche Normalform).

b) Nutze die besondere Lage von \(g\) als Argumentation. Welcher Punkt muss dann zwangsläufig den kürzesten Abstand haben. Wenn man a) verstanden hat, versteht man die Argumentation sofort.