Einsetzmethode vs. Lagrange

Question

Aufgabe:

Determine type and location of the constrained local extreme values for the optimization task
\( \text { subject to } \begin{aligned} f(x, y) & =2 x^{2}+y^{2} \rightarrow \mathrm{~min}^{2} / \max \\ g(x, y) & =x-y^{2} = -1 \end{aligned} \)
a) using the elimination method

Problem/Ansatz:

wenn ich in f(x,y) y² durch x+1 aus der Nebenbedingung g(x,y) ersetze bekomme ich zwei Punkte (-1/4, 1/2√3), (-1/4,-1/2√3), die ich auch mit Lagrange erhalte.

Mit Lagrange komme ich aber noch auf einen dritten Punkt (-1,0) den ich nicht mit der Einsetzmethode finde. Wie kann das sein?

Comments

Das wird man an Deiner Rechnung sehen. Lade die mal hoch (liefere die grundsätzlich bei Fragen mit, um uns Arbeit zu sparen und zielgerichtete Antworten zu bekommen).

---

Text erkannt:

---

In der graphischen Darstellung sieht man die drei Extrema der Zielfunktion (orange) unter der Nebenbedingung (blau).

---

Danke! An den anderen beiden Stellen liegen Minima vor, bei (-1,0) ein Maximum.

Answer 1

In der Rechnung ist \(\lambda=1\), nicht \(4\), führt aber auch auf (-1,0).

Du hast ja noch keine Extrema bestimmt. Die Lagrange-Methode liefert nur Kandidaten für Extrema - ob es wirklich welche sind, muss anders geklärt werden (nebenbei: auch das Nullsetzen der Ableitung in der Einsetzmethode liefert nur Kandidaten).

edit: Letzter Satz gestrichen - in meiner Rechnung war ein Fehler.

Comments

Die letzte Auskunft ist falsch: Die Extremstelle (-1,0) wird durch die Einsetzmethode nicht gefunden, weil die "Einsetzfunktion" \(y=\sqrt{x+1}\) bei x=-1 am Rand ihres Definitionsbereichs liegt. Setzt man x=y^2-1 ein, erhält man alle 3 Extrema.

---

Wieder Danke, Mathhilf!

In der Tat kommen wenn ich anders einsetze alle drei Punkte heraus. Das ist aber nicht gut, woher weiß ich denn dann, wie ich einsetzen muß? Gibt es da eine Regel?