Aufgabe:
1.
Für \( z_0 \in \mathbb{C} \) und \( r > 0 \) sei der Weg \( \gamma_{z_0,r} \) definiert durch \( \gamma_{z_0,r}(t) := z_0 + re^{it} \) (\( t \in [0, 2\pi] \)).
Berechnen Sie das folgende Wegintegral:
$$\int_{\gamma_{i,1}} \frac{e^z}{z^2 + 1} , dz$$
2. (iii) Es sei die Funktion \( f \) gegeben durch
$$f(z) := \frac{(z - 2)e^{-\frac{1}{z^2}}}{z^2 - z - 2}$$
Der Definitionsbereich sei die Menge aller \( z \in \mathbb{C} \), für welche \( f(z) \) erklärt ist.
Es sei \( \gamma(t) := -\frac{3}{2} + e^{it} \) (\( t \in [0, 2\pi] \)). Berechnen Sie das Wegintegral
$$ \int_{\gamma} f(z) \, dz. $$
Problem/Ansatz:
Die relevante Frage für mich ist, wann nutze ich den Residuensatz und wann die Cauchy Integralformel? Bei 1 hab ich ja zwei verschiedene Polstellen. Verwendet man lieber den Residuensatz?
Bei 2. hab ich ja bei 0 wenn ich richtig gerechne habe eine hebbare Singularität. Aber wie zeigt man das formal? Muss man das z mit z->0 da durch 1/z und (-1)*1/z ersetzen und dann lim z-> unendlich machen?
Und wie wende ich dann da den Residuensatz an? Kann ich die hebbaren Singularitäten da einfach ignorieren? Und wie sieht es aus, wenn ich in der Formel mal eine wesentliche Singularität hätte? Könnte ich dann auch den Residuensatz nutzen?
