Wie groß ist der Winkel alpha?

Question

Aufgabe:

Wie groß ist der Winkel α?

Ohne Taschenrechner; die Figuren sind nicht maßgetreu.

Paul Eigenmann, Aufgabe 1.4.170, ISBN 3-12-722310-2, 1981, S. 25.

Comments

Hier ein Bild mit veränderbarem blauen Punkt auf der x-Achse, an dem ich mir den Winkel von 90 Grad hergeleitet habe.

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Ich verstehe die Aufgabe nicht: Was ist gegeben bzw. definiert?

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Ich verstehe die Aufgabe nicht: Was ist gegeben bzw. definiert?

Das ist eine gute Frage. Da auch ich erstmal nicht wusste wie es definiert ist, habe ich das in Geogebra entwickelt.

Beim bewegen des blauen Punktes hatte ich dann die Idee, wie ich es beweisen könnte, dass der Winkel zwischen den Strecken exakt 90 Grad beträgt.

Ich kann jedem Empfehlen sich das selbst zu visualisieren um ein Verständnis zu entwickeln.

Ich könnte auch meine Konstruktion erläutern. Aber ich denke das ist nicht nötig. Angefangen habe ich mit dem Ursprung und dem Einheitskreis um den Ursprung.

Den blauen Punkt habe ich beliebig auf der x-Achse platziert und dann den Kreis um diesen Punkt gezeichnet, der durch den Ursprung geht.

Wäre der Rest dann klar?

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Eigenmann hat auch Lösungen mitgeliefert. Zu dieser Aufgabe schrieb er:

[spoiler]

\(\displaystyle 90^\circ \)

[/spoiler]

(eingangs zitiertes Werk, S. 57)

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Der_Mathecoach

Wäre der Rest dann klar?

Nein.

Die Zeichnung von Eigenmann kann man von Hand oder auch mit Geogebra einfach wiederholen und auf α = 90° (Geogebra)  oder auf α ≈ 90° (von Hand) kommen. Aber:
Warum ist die rechte schräge Linie eine Tangente an den großen Kreis (und somit
α = 90°)? Welche Konstruktionsregel wurde dabei benutzt?f

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Warum ist die rechte schräge Linie eine Tangente an den großen Kreis

Sie ist keine Tangente am Kreis, denn (von einem Spezialfall abgesehen) gibt es noch einen zweiten Schnittpunkt (von mir A genannt) mit dem Kreis,

Zu zeigen ist, dass die Gerade AB durch M verläuft.

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Sie ist keine Tangente am Kreis.

Ich schnapp mir mal 'ne Tüte Popcorn. Das scheint interessant zu werden.

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@abakus: es geht um die rechte Strecke, die bei dir durch B verläuft und den großen Kreisbogen.

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Ich dachte, Holdi hat links und rechts verwechselt.

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Dann hätte er auch groß und klein verwechselt. ;)

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Oh. Jetzt ist es schon Spam, wenn man sich für die verschiedenen Interpretationen der Aufgabe und Merkmale interessiert.

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Du machst dich über ein Missverständnis lustig und ziehst es ins Lächerliche. Das hat mit fachlichem Interesse an der Aufgabe nichts zu tun. Aber du führst dich hier ja grundsätzlich auf wie der König und darfst bekanntlich alles, wie auch dein letzter Kommentar sehr gut verdeutlicht.

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Es war nicht meine Absicht hier etwas ins Lächerliche zu ziehen.

Das ist mal wieder eine Unterstellung von dir.

Ich war nur gespannt auf die Diskussion.

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Zu zeigen ist, dass die Gerade AB durch M verläuft

Einfach ist jedenfalls der Nachweis, dass (mit diesen Bezeichnungen)

für die Winkelmaße  α = β  gilt.

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abakus

Zu zeigen ist, dass die Gerade AB durch M verläuft.

Danke dafür, dass Du die Gerade AMB ins Gespräch bringst.
Von A aus findet man B. Die rechte Kreis-Hälfte über dieser Durchmesser-Geraden ist ein Thales-Kreis, auf dem sich die Spitze des Winkels α (=90°) befindet.
Wieso ist dann  das kurze Kreis-Stück bei B  erforderlich?
Wieso ordnet Eigenmann diese Aufgabe unter

Algebraische Behandlung
Ansetzen einer Gleichung

ein?

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Nachtrag

Von A aus findet man B.

Das ist aber das Pferd von hinten aufgezäumt. Eigenmann gibt diesen Punkt mit Hilfe des kurzen Kreis-Stücks vor. Der von abakus genannte Nachweis kann nicht übersprungen werden.

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Gast hj2166

Einfach ist jedenfalls der Nachweis, dass für die (Deinigen) Winkelmaße α = β  gilt.

Ich sehe das nicht. Das stimmt erst, wenn Du (Deine) Gerade s gefunden hast, wobei der (Eigenmann'sche) Winkel α = 90° ist.

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Die Sekante s verbindet die Schnittpunkte der Kreise um M und B und wird anschließend um den Punkt A gedreht.

Answer 1

hIch sehe die Aufgabe (oder ihren Kern) - nach Meditation der angegebenen Grafiken - so: Es sind 5 Punkte gegeben, so dass die in der Skizze gleichfarbigen Strecken gleich lang sind. Gesucht ist \(\beta + \delta\). In dem kleinen rechtwinkligen Dreieck liest man ab: \(\beta + \delta=\pi/2\)

Comments

Hier noch die Übertragung der Skizze von mathhilf auf die von Eigenmann.

Das Dreieck zwischen den von Eig.mann eingetragenen Punkten ist gleichschenklig
>>> β, β.
Die mit dem kurzen Stück Kreis gewonnenen grünen Strecken lassen sich zu einem gleichschenkligen Dreieck ergänzen. Der Winkel zwischen ihnen wird in seiner Eigenschaft als gleichschenkliger Peripherie-Winkel von der oberen roten Strecke (zwische Winkelspitze und Kreismittelpunkt)  mittig geteilt  >>> δ + δ.
Im oberen kleinen rechtwinkligen Dreieck addieren sich die beiden anderen Winkel zu einem rechten Winkel >>> β + δ = 90°.
Diese Summe ist auch der Wert des gesuchten Winkels α >>> α = 90°.

Die Idee von abakus kommt nicht zum Zuge. Mit dem entstehenden Thales-Kreis wird die
Rechtwinkligkeit immerhin bestätigt.