Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion f mit \( f(x)=2 \ln \left(\frac{x}{2}\right)+2 \) mit maximaler Definitionsmenge.
a) Begründen Sie, dass \( f \) umkehrbar ist.
b) Bestimmen Sie einen Term der Umkehrfunktion \( \overline{\mathrm{f}} \).
c) Es gilt: \( \int \limits_{0}^{2}(2-\bar{f}(x)) d x=\int \limits_{a}^{2} f(x) d x \)
Bestimmen Sie den Wert von a.
Problem/Ansatz:
Ich habe a) und b) gemacht und ich weiß, das bei c) a = 2/e herauskommt. Wenn ich die beiden Integrale löse und gleichsetze komme ich am ende auf eine Gleichung der Form \( \frac{1}{e} \) = -z·ln(z) mit z=a/2
Wie löst man so etwas? Dass 1/e diese Gleichung erfüllt, kann man sehen. Also scheint bis hierhin alles richtig zu sein.
