( x - a ) ( x - b ) ( x - c ) < 0
ist genau dann wahr, wenn entweder genau einer oder alle drei der Linearfaktoren kleiner als 0 sind, also:
<=>
( x - a < 0 und x - b > 0 und x - c > 0 )
oder ( x - b < 0 und x - a > 0 und x - c > 0 )
oder ( x - c < 0 und x - a > 0 und x - b > 0 )
oder ( x - a < 0 und x - b < 0 und x - c < 0 )
<=>
( x < a und x > b und x > c )
oder ( x < b und x > a und x > c )
oder ( x < c und x > a und x > b )
oder ( x < a und x < b und x < c )
Bezeichnet man nun den Parameter mit dem kleinsten Wert mit a und den Parameter mit dem größten Wert mit c, so dass also gilt: a ≤ b ≤ c , dann sind die ersten beiden dieser vier Ausdrücke immer unwahr, sodass sich das System auf
( x < c und x > a und x > b )
oder ( x < a und x < b und x < c )
reduziert. Dies kann man zusammenfassen zu:
b < x < c oder x < a
Daraus ergibt sich:
M = { x ∈ R | b < x < c oder x < a }
und somit
sup ( M )
= c falls es einen größten Parameter c gibt, falls also gilt: b echt kleiner als c
= a sonst
inf ( M ) = - ∞
