Für welche Argumente x sind die Funktionswerte einer linearen Funktion kleiner als die einer quadratischen Funktion

Question

Ich soll ermitteln für welche Argumente x die Funktionswerte einer linearen Funktion kleiner als die einer quadratischen Funktion sind.

Gegeben sind noch zwei Funktionen

(1) y=-0,5x²+4x-1

und

(2)y=-0,5x-3

ich danke euch schon im Voraus für eure Hilfe und Zeit !

Answer 1

Die erstgenannte Funktion ist die quadratische und die zweitgenannte Funktion die lineare.
Wenn die Werte der linearen Funktion kleiner als die der quadratischen sein sollen, dann muss also gelten:

- 0,5 x - 3 < - 0,5 x ² + 4 x - 1

Nun auflösen nach x.
Dazu zunächst alle Terme mit x nach links bringen und alle anderen Terme nach rechts (dabei gleich geeignet zusammenfassen):

<=> 0,5 x ² - 4,5 x < 2

Beide Seiten mit 2 multiplizieren:

<=> x ² - 9 x < 4

Quadratische Ergänzung bestimmen und auf beiden Seiten addieren:

<=> x ² - 9 x + 4,5 ² < 4 + 4,5 ² = 24,25

Linke Seite als Quadrat schreiben:

<=> ( x - 4,5 ) ² < 24,25

<=> | x - 4,5 | < √ 24,25

<=> - √ 24,25 < x - 4,5 < √ 24,25

<=> 4,5 - √ 24,25 < x < 4,5 + √ 24,25