Limes berechnen e-Funktion: f(x)= exp(x)+exp(-x)/2

Question

Ich verzweifle gerade an dieser Aufgabe ..
Von der Funktion f:R->R f(x)= exp(x)+exp(-x)/2 sei bekannt, dass sie streng monoton wachsend ist auf [0,+unendlich)
berechnen Sie lim x gegen unendlich und bestimmen Sie f([0,unendlich)).
Ich weiß einfach nicht wie eine e Gleichung berechnet wird mit Limes ..
Danke für eure Hilfe :)

Answer 1

Hast du es denn mal versucht?

Es ist wirklich nicht so furchtbar schwierig. Ein paar kleine Umformungen und man sieht es sofort:

$$\lim _{ x->\infty  }{ \left( { e }^{ x }+\frac { { e }^{ -x } }{ 2 }  \right)  }$$$$=\lim _{ x->\infty  }{ \left( { e }^{ x }+\frac { 1 }{ 2 } \frac { 1 }{ { e }^{ x } }  \right)  }$$$$=\lim _{ x->\infty  }{ \left( { e }^{ x }+\frac { 1 }{ 2{ e }^{ x } }  \right)  }$$$$=\infty$$

Es ist:

$$f([0;\infty ))=[{ e }^{ 0 }+\frac { { e }^{ -0 } }{ 2 } ;\lim _{ x->\infty  }{ \left( { e }^{ x }+\frac { { e }^{ -x } }{ 2 }  \right)  } )=[1,5;\infty )$$

Comments

Aber die zwei im Nenner steht ja komplett unter e hoch x und e hoch Minus x. Kann ich die dann einfach nur unter e hoch Minus x schreiben?
Ja ja aber ich weiß nicht genau woran ich das erkennen soll, dass das wirklich gegen unendlich läuft :/ vielleicht habe ich auch nur ein Brett vor den Kopf und seh es einfach nicht :s


aver danke schon einmal :)

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Aber die zwei im Nenner steht ja komplett unter e hoch x und e hoch Minus x.

So wie du es geschrieben hast, steht die Zwei nur im Nenner des zweiten Summanden (wegen der Regel Punktrechnung vor Strichrechung).

So wie du es aber offenbar meinst, hättest du Klammern verwenden müssen:

f ( x ) = ( exp ( x ) + exp ( - x ) ) / 2

Das ändert allerdings nichts an der Aussage bzgl. des Grenzwerts. Auch diese Funktion geht gegen unendlich, denn man kann schreiben:

f ( x ) = ( exp ( x ) + exp ( - x ) ) / 2

= ( e ^x + e ^{- x} ) / 2

= ( e ^x / 2 ) + ( e ^{- x} ) / 2

Für x gegen unendlich geht der erste Summand immer noch gegen ∞ und der zweite Summand  immer noch gegen Null. Der Grenzwert der Summe ist also weiterhin ∞.

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Danke :) und sorry, dass ich die Klammer vergessen habe. Hilft mir sehr für den Rest der Aufgabe :-)