Question

Sei x aus R mit 0<=x<=1/n für alle n aus N. Zeigen Sie, dass x=0 ist.

Answer 1

Hi,

$$ \text { Nehme an, das } x\ne 0 \text { gilt, dann muss } x>0 \text { sein. } $$ dann gibt es eine natürliche Zahl M mit $$ \text {(1) }M\le \frac{1}{x} \le M+1 < M+2 $$ nach Voraussetzung muss auch für dieses M gelten $$ x \le \frac{1}{M+2} $$ also folgt $$ x(M+2) \le 1 $$ das ist ein Widerspruch, da nach (1) $$ x(M+2)>1 $$ gilt. Also muss x=0 gelten.

Comments

Also, der Ansatz, dass ich x>0 annehme hatte ich mir auch überlegt und kann ich demnach auch nachvollziehen, aber wie kommt man dan auf (1)?

Gilt das nur für EINE natürliche Zahl M? Also bei 1 in diesem Falle.

Und, wie kommst du auf x <= 1/M+2?

Der Rest ist mir ansonsten klar.

Danke schon Mal :)

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Ach, wie du jetzt auf x≤1/M+2 kommst, habe ich verstanden, kommt von 0≤x≤1/n!!

Nur noch nicht si genau, ob es nur EINE natürliche Zahl M gibt, die 1 sein muss ...

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Hi,

Du willst ja beweisen, das x=0 gelten muss, d.h. es darf kein einziges x ungleich 0, die die angegebene Bedingung erfüllt. Um den Widerspruch zu konstruieren nimmst Du jetzt an, dass es doch so ein x ungleich 0 gibt. dann darf man auch durch x teilen, da x ja ungleich 0 ist. und 1/x liegt genau zwischen zwei natürlichen Zahlen, dass sind in meinem Beweis die Zahlen M und M+1. Um zu einem Widerspruch zu kommen muss Du M+1 noch ein wenig vergrößern, z.B. auf M+2, denn dann wird 1/(M+2) kleiner als 1/M.

Einfach gesagt, findet man zu jeder, auch noch so kleinen Zahl x eine natürliche Zahl die mit mit x multipliziert größer als 1 wird. Andererseits soll aber immer gelten N*x<1. So kann man es heuristisch begründen. Formal ebenso wie geschrieben.

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Aha!! Ok, vielen lieben Dank für die tolle Erklärung, das hat mir wirklich sehr weiter geholfen :) Habe es jetzt verstanden.

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HI,

kein Problem. Macht ja auch Spass, ich hoffe Dir auch.