Wie hoch ist die Pyramide? (Pyramide über einem Dreieck abc)

Question

Gegeben ist eine Pyramide über einem Dreicke $A B C, A=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{c}2 \\ 2 \\ -1\end{array}\right)$ und der Spitze $P= \begin{pmatrix} 6\\-5\\7 \end{pmatrix} .$ Bestimmen Sie die Höhe der Pyramide (in $\left.P\right)$.

Comments

ja, stelle alle Vektoren und deren Beträge auf, die es dir ermöglichen, die Höhe mit Hilfe der Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck zu ermitteln.

Answer 1

Die Höhe ist einfach der Abstand von P zur Ebene durch die Punkte A, B und C.

kN = AB ⨯ AC = ([-1, 0, 2] - [0, 1, 1]) ⨯ ([2, 2, -1] - [0, 1, 1]) = [1, 0, 1]

[x, y, z] * [1, 0, 1] = [0, 1, 1] * [1, 0, 1]
x + z = 1

d = (x + z - 1)/√2

Nun den Punkt P einsetzen

d = (6 + 7 - 1)/√2 = 6·√2

Oder man nutzt das Spat-Produkt

AP = [6, -5, 7] - [0, 1, 1] = [6, -6, 6]

d = | AB ⨯ AC * AP | / | AB ⨯ AC | = | [1, 0, 1] * [6, -6, 6] | / | [1, 0, 1] | = 6·√2