Um wie viele Prozentpunkte ist der jährliche Zinssatz von der Bank gesenkt worden?

Question

Eine Gemeinde legte ein Kapital zu 6.00% p.a. Zinsen an, das in 18 Jahren auf 134000.00 GE anwachsen und dann zum Bau eines Seniorenheimes verwendet werden soll. Nach 10 Jahren muss die Bank den jährlichen Zinssatz herabsetzen. Um dennoch in der festgesetzten Zeit die erforderliche Endsumme zu erreichen, legt die Gemeinde zu diesem Zeitpunkt einen Betrag in Höhe von 8369.43 GE hinzu.
Um wie viele Prozentpunkte ist der jährliche Zinssatz von der Bank gesenkt worden?

Answer 1

Das ursprünglich angelegte Kapital K errechnet man aus folgender Gleichung:

K * 1,06 ¹⁸ = 134000

<=> K = 134000 / 1,06 ¹⁸ = 46946,07 GE

Den Zinssatz p, zu dem ein Kapital von 46946,07 GE, das 10 Jahre lang mit 6 % verzinst und dann um 8369,43 GE erhöht wird, verzinst werden muss, um nach weiteren 8 Jahren das Endkapital 134000 GE zu erreichen, berechnet man aus folgender Gleichung:

( ( 46946,07 * 1,06 ¹⁰ ) + 8369,43 ) * ( 1 + p ) ⁸ = 134000

( 1 + p ) ⁸= 134000 / ( ( 46946,07 * 1,06 ¹⁰ ) + 8369,43 )

<=> 1 + p = ⁸√ ( 134000 / ( ( 46946,07 * 1,06 ¹⁰ ) + 8369,43 ) )

<=> p = ⁸√ ( 134000 / ( ( 46946,07 * 1,06 ¹⁰ ) + 8369,43 ) ) - 1 ≈ 0,0475 = 4,75 %

 

Und um die Frage noch korrekt zu beantworten:

Der Zinssatz ist um 6 - 4,75 = 1,25 Prozentpunkte gesenkt worden.