also mit dieser Aufgabe komme ich einfach nicht zurecht:
Sei $$f:( 0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$$ zweimal stetig differenzierbar. Seien $$M_0 := sup_{x > 0} |f(x)| < \infty,~~~M_1 := sup_{x > 0} |f'(x)| < \infty,~~~ M_2 := sup_{x>0} |f''(x)| < \infty$$. Zeigen Sie, dass gilt: $$(M_1)^2 \le 4 \cdot M_0 \cdot M_2$$.
Das einzige, was ich herausfinden konnte, war, dass f und f' Lipschitz-stetig sind, da f' und f'' ja beschränkt sind. Daraus kann man folgern, dass
$$\forall x_1, x_2 \in (0, \infty) : |f(x_1)-f(x_2)| \cdot M_2 + |f'(x_1) - f'(x_2)| \cdot M_1 \le 2 \cdot |x_1 - x_2| \cdot M_1 \cdot M_2$$
Bringt mich aber auch nicht weiter, da vor allem $$M_0$$ in der Ungleichung ja fehlt.
Ausserdem sollen wir das mit der Taylor-Formel zeigen und als Hinweis steht, dasss wir aus einer alternativen Form der Taylor-Formel
$$f(x+h) = f(x) + h f'(x) + \frac{h^2}{2} f''(c)$$
nutzen sollen.
Hat jemand vielleicht einen Tip?
Danke
