Beweise die Aussage: Wenn ein Dreieck die Winkel 30 Grad und 60 Grad hat, dann ist eine Dreiecksseite halb so lang

Question

Aufgabe:

a ) Beweise die Aussage: Wenn ein Dreieck die Winkel 30 Grad und 60 Grad hat, dann ist eine Dreiecksseite halb so lang wie die andere.

b) Gilt der Satz: Wenn in einem Dreieck eine Seite halb so lang wie die andere ist, dann hat es die Winkel 30 Grad und 60 Grad.

Kann jemand erklären, wie man das machen soll?

Answer 1

a)

Wenn ein Dreieck die Winkel 30 Grad und 60 Grad hat, dann

=> hat der dritte Winkel 180 ° - 30 ° - 60 ° = 90 °

Mit dem Sinussatz ergibt sich dann:

=> a / sin ( 30 ° ) = b / sin ( 60 ° ) = c / sin ( 90 ° ) = c

=> a / sin ( 30 ° ) = c  <=> a / 0,5 = c  <=> c = 2 * a

Also: Unter den genannten Bedingungen ist eine der beiden Katheten gerade halb so lang wie die Hpotenuse.

 

b)

Nein, dieser Satz (also die Umkehrung des Satzes aus Teil a ) gilt im Allgemeinen nicht. Es lässt sich sehr leicht ein Gegenbeispiel finden.

Zeichne einfach ein Dreieck, dessen eine Seite 4 cm und dessen andere Seite 8 cm lang ist. Du wirst feststellen: Es gibt unendlich viele Dreiecke dieser Art - und nur für zwei davon gilt, dass sie einen 30 Grad - und einen 60 Grad-Winkel haben. Das ist nämlich genau dann der Fall, wenn das gezeichnete Dreieck rechtwinklig ist und dafür gibt es zwei kongruente Möglichkeiten.