Stochastik Mengen: Beweisen oder widerlegen Sie P(A n B) ≤ P(A)*P(B)

Question

Aufgabe 4 ( 4 Punkte). Beweisen oder widerlegen Sie:

Für alle \( \Omega \) und alle \( A, B \in \mathcal{P}(\Omega) \) gilt: \( P(A \cap B) \leq P(A) \cdot P(B) \)

Comments

Tipp: Schau dir den Fall A=B an.

Answer 1

Annahme: Die verschiedenen P stehen für P Potenzmenge resp. P Wahrscheinlichkeit.

B = A

P(A n A) = P(A), da A n A = A

Behauptung P(A) ≤ P(A)*P(A)          

==> P(A) - P(A)*P(A) ≤ 0

P(A)(1-P(A)) ≤ 0

Kleiner als 0 kommt nicht in Frage, da Wahrsch. weder neg. noch grösser als 1.

==> P(A) = 0 oder P(A) = 1, d.h. unmögliches Ereignis oder sicheres Ereignis.

Wenn es ein Ereignis gibt, dessen Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegt, so ist die Behauptung falsch.

Du kannst somit die Behauptung mit jedem Wahrscheinlichkeitsraum Ω widerlegen, der Ereignisse enthält, die weder sicher noch unmöglich sind.