Nicht-leere Mengen zeigen

Question

Aufgabe:

Seien \( A, C \subset \mathbb{R} \) zwei nicht-leere Mengen mit der Eigenschaft:

für jedes \( a \in A \) und für jedes \( c \in C \) gilt \( a \leq c \).

Zeigen Sie, dass eine Zahl \( b \in \mathbb{R} \) existiert, so dass für alle \( a \in A \) und alle \( c \in C \) gilt: \( a \leq b \leq c . \)

Answer 1

Hat die Menge A ein Maximum so kann man b=max A wählen. Ebenso falls C ein Minimum hat. Bleibt also der Fall, dass A kein Maximum und C kein Minimum hat. Annahme: sup A> inf B. Wir wählen Epsilon so klein, dass $$sup A-\varepsilon>inf C +\varepsilon$$ Nach Def. des infimums existiert aber ein c in C mit $$csup A -\varepsilon$$. Damit ist $$a>c$$, der gewünschte Widerspruch.

Comments

das war es schon?

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Was erwartest du denn noch? Wie genau das noch ausgearbeitet werden muss hängt noch vom Korrektor und eigenem Verständnis ab.