f−1(f(U))⊂U stimmt nicht
Betrachte f:ℝ→ℝ f(x)= x2 und U=ℝ+ ∪ {0}
Dann ist f(U)=ℝ und f−1(f(U)) enthält alle
x∈ℝ, deren Bild in ℝ liegt, also insbesondere auch -1,
das ist aber nicht in U.
U⊂f−1(f(U)) stimmt allerdings.
Bew.: Sei x∈U . (Gibt es, da U nicht leer.)
Da U⊆X gehört x zum Def.bereich von f,
also existiert y∈Y mit f(x)=y, also y∈f(U) .
Damit ist x in der
Urbildmenge von f(U). q.e.d.