Überprüfen Sie, ob die Punkte auf einer Geraden liegen.

Question

Aufgabe 1 : Gegeben sind die Punkte A(1/2/0), B(0/1/1), C(3/-2/5) und P(3/k/k-2)

1.1 : Begründen Sie, dass A, B und C nicht auf einer Geraden liegen.

1.2: Untersuchen Sie, ob es einen Wert für K gibt, dass A, B und P auf einer Geraden liegen

Aufgabe 2:

a) Gegeben sind die Matrizen \( A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4\end{array}\right) \) und \( B=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right) \). Berechnen Sie \( A \cdot B \).

b) Betrachtet wird nun zudem die Matrix \( C=\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right) \) mit reellen Elementen a, \( b, c, d, e, f, g, h, i \) ungleich null. Beschreiben Sie unter Berücksichtigung des Ergebnisses von \( \mathrm{A} \cdot \mathrm{B} \) aus Aufgabenteil a, was für das Ergebnis von C.B vermutet werden kann. Beweisen Sie Ihre Vermutung rechnerisch.

Aufgabe 3:

Gegeben sind die Punkte \( A(1 ; 1 ; 0), B(0 ; 0: 1), C(0 ; 0: 0) \). Zeichnen Sie das Dreieck \( A B C \) in ein dreidimensionales Koordinatensystem. Das Dreieck weist bei \( C \) einen besonderen Winkel auf. Begründen Sie.

Answer 1

Zu 1.1

Drei Punkte A, B und C liegen genau dann auf einer Geraden, wenn der Richtungsvektor von AC ein Vielfaches des Richtungsvektors von AB ist, wenn es also ein λ ∈ R , λ ≠ 0 gibt, so dass gilt:

( C - A ) = λ ( B - A )

Vorliegend müsste also gelten:

( 2 | - 4 | 5 ) = λ ( - 1 | - 1 | 1 )

Es müsste also folgendes Gleichungssystem lösbar sein:

2 = - λ
- 4 = - λ
5 = λ

Man sieht sofort, dass es kein λ gibt, so dass diese drei Aussagen alle wahr wären. Das aber bedeutet, dass die drei Punkte A, B und C nicht auf einer Geraden liegen.

 

Zu 1.2

Die drei Punkte A, B und P liegen genau dann auf einer Geraden, wenn der Richtungsvektor von AP ein Vielfaches des Richtungsvektors von AB ist, wenn es also ein λ ∈ R , λ ≠ 0 gibt,, so dass gilt:

( P - A ) = λ ( B - A )

Vorliegend müsste also gelten:

( 2 | k - 2 | k - 2 ) = λ ( - 1 | - 1 | 1 )

es müsste also folgendes Gleichungssystem lösbar sein:

2 = - λ
k - 2 = - λ
k - 2 = λ

Aus den beiden letzten Gleichungen folgt sofort:

λ = 0

Da aber λ ≠ 0 sein muss (und zudem die erste Gleichung für λ = 0 eine unwahre Aussage ist), gibt es keinen Wert für k, so dass A, B und P auf einer Geraden liegen.

 

zu 2a)

$$A*B=\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \end{matrix} \right) *\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 2 \end{matrix} \right)$$

 

zu 2b)

Offensichtlich führt die Multiplikation der Matrix A mit der Matrix B zu einer Vertauschung der ersten und dritten Spalte von A. Daher kann vermutet werden, dass die Multiplikation der Matrix C mit der Matrix B ebenfalls zu einer Vertauschung der ersten und dritten Spalte von C führt.

Indem man die Multiplikation C * B durchführt, bestätigt man diese Vermutung.

zu 3)

Das Dreieck ABC hat bei C einen rechten Winkel, weil die Richtungsvektoren von CA und CB orthogonal zueinander sind, wie man durch Bildung des Skalarproduktes

( A - C ) * ( B - C ) = ( 1 | 1 | 0 ) * ( 0 | 0 | 1 ) = ( 0 | 0 | 0 )

nachweist.